第三讲 数列的求和-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第2讲 数列的求和 1、 知识梳理 1、等差数列的前 项和公式1： 。 用此述公式要求 必须具备三个条件： 、 、 。 因此，只要题中出现以下三种情况，一般就是应用此公式。 (1)出现或可求通项公式 ；(2)出现两项或多项可求中项；(3)出现比值或求比值。 2、等差数列的前 项和公式2： 。 用此述公式要求 必须具备三个条件： ， ， 。 3、奇数项及偶数项等差数列的前 项和 (1)若项数为奇数时： ；若项数为 ，则 ， ； (2)若项数为偶数时： (即这个数列的中间项的值)；若项数为 ，则 ， 。 4、公差为 的等差数列 的前 项和为 ，则数列 必是首项为 ，公差为 的等差数列。 5、等差数列中， 。 6、若 为等差数列，则 、 、 、…仍为等差数列，公差为 。 7、对等差数列前项和的最值问题有三种方法： (1)利用 ：①当 ， ，前 项和有最大值，可由 且 ，求得 的值； ②当 ， ，前 项和有最小值，可由 且 ，求得 的值。 注意：求 的最值时，当 时 取两个值。 (2)利用 ：由 利用二次函数配方法求得最值时 的值。 等差数列 的首项是 ，公差为 。若其前 项之和可以写成 ，则 ， ，当 时它表示二次函数，数列 的前 项和 是 成等差数列的充要条件。 (3)利用函数的单调性 8、与前 项和有关的三类问题 数列的通项公式和前 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。 (1)知三求二：已知 、 、 、 、 中任意三个，可求得其余两个，一般用方程解。 (2) 。 (3)利用二次函数的图像确定 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值。应取 为正整数时的数值。 9、两个等差数列关系 (1)若两个等差数列 、 相加组成一个新数列 ，则 必为等差数列，公差为数列 、 的公差之和。 (2)若两个等差数列 、 的前 项和分别为 和 ，则 。 10.等比数列通项公式与前项和公式 前项和公式：①当时，；②当时，. 11.数列的求和方法 1. 定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求前n项和的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目； 2.分组求和：对一个由等差数列及等比数列对应项之和或之差组成的数列的前n项和，常用分组求和法.即若 ，其中 是等差数列， 是等比数列，则用分组求和法. 3.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即 ，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项形式. 裂项求和常用裂项形式有： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤若数列 为等差数列，且公差为d，则 4.错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法. 即若 ，其中 是等差数列， 是等比数列，公比为q，则求其前n项和的方法如下： 记 ， 则 ， 两式相减，即可得出结果. 5.倒序相加法 二、典型例题 考点一、求数列前n和 例1-1、等差数列 中，若 ， ，则前 项和 ( )。 A、 B、 C、 D、 【解析】∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，故选B。 例1-2、设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 。 【解析】 ， ，∴ 。 例1-3、若等比数列 的前n项和为 ，且 ，则 ＝________. 解法一：设数列{an}的公比为q，由已知得＝5，即1＋q2＝5， ＝1＋ 所以q2＝4，＝1＋q4＝1＋16＝17. ＝1＋ 解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a， 由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a， 所以＝17.＝ 例1-4、设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 。 【解析】设等差数列 的项数为 ， 则 ， ， ∴ ，解得 ，∴等差数列 的项数为 ， 。 例1-5、已知等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 。 【解析】 。 例1-6、等差数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，则它的前 项和为( )。 A、 B、 C、 D、 【解析】由已知得 、 ，则 、 、 、…为等差数列，则 、 、 ，则 ，故选C。 例1-7、设两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且 ，则 。 【解析】 ， ∴ ，∴ 。 考点二、利用等差数列的前 项求范围 当 时，前n和 有最大值；当 时，前n和 有最小值。 例2-1已知等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，等于（ ） A、6