第七讲 立体几何与空间向量的综合应用-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第2讲 立体几何与空间向量的综合应用 1、 知识梳理 1. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m, l∥α,n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α,n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m, α∥β,n∥m⇔n＝λm α⊥β,n⊥m⇔n·m＝0 3. 异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 求法 cosβ＝ cosθ＝|cos β|＝ 4. 求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝. 5. 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈〉， ① ② ③ (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 2、 典型例题 考点1、异面直线所成的角 例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（ ） A. D. C. B. 【解析】　以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 可得A(0，2，0)，B(2，2，0)，C(2，0，0)，B1(2，2，2)，C1(2，0，2)，由中点坐标公式可得E(2，1，0)，F(2，1，2)，则AF＝(2，－1，2)，C1E＝(0，1，－2)，设两异面直线所成角为θ，则cos θ＝|cos〈.故选C. ＝，故异面直线AF与C1E所成角的正切值为，则sin θ＝＝＝，C1E〉|＝ 变式：如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1， 则，，. ，， 所以 而， ， 所以， 故选D. 考点2、直线与平面所成的角 例2、在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是(　　) A． B． C． D． 【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点D. 平面AA1C1C的一个法向量是＝(1，0，0)，所以cos〈，〉＝＝，则sin α＝. 例3、（向量法）如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 【解析】 (1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， 所以A1E⊥平面ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E­xyz. 不妨设AC＝4， 则A1(0,0,2，C(0,2,0)． )，F，3,2，1,0)，B1()，B( 因此，，1,0)． ＝(－，＝ 由＝0得EF⊥BC. · (2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ. 由(1)可得)． ＝(0,2，－2，1,0)，＝(－ 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)． 由得 取n＝(1, ，1)， 故sin θ＝|cos〈. ，∴cos θ＝＝，n〉|＝ 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为. 变式：（综合法）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°. (1) 求证：AD⊥BC； (2) 求异面直线BC与MD所成角的余弦值； (3)求直线CD与平面ABD所成角的