第六讲 直线与双曲线、抛物线的位置关系-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第2讲 直线与双曲线、抛物线的位置关系 1、 知识梳理 1、直线与双曲线 直线：与双曲线的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）： 方法一：代数计算 联立消元 （*）． 当，即时， 直线与渐近线平行或重合，此时它与双曲线有一个公共点或零个公共点； 当时，判别式，根据判别式可得到公共点个数． 方法二：几何图形 画出双曲线与直线的草图，根据直线与双曲线的渐近线的位置关系与双曲线的性质直接得到公共点个数，只能进行定性判断． ⑴弦长公式： 对于直线：，点，， ； ⑵两根差公式： 如果满足一元二次方程：， 则()． 2、直线与抛物线 直线：与抛物线（）的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）： 联立，消去得：， 当时，解得，此时直线与抛物线的轴平行，一定有一个交点； 当时，有，根据的符号可得到公共点的个数． 抛物线过焦点的弦有一些特殊的性质： 已知是抛物线的焦点弦，为抛物线的焦点，垂直于抛物线的准线于两点，如图，记直线的倾斜角为，、，则有以下结论： ① ；； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 以（）为直径的圆与轴相切； ⑥ 以为直径的圆与抛物线准线相切； ⑦ （、、）三点共线． 二、典型例题 考点1、直线与双曲线的交点个数与位置 例1、已知双曲线，直线：，试讨论实数的取值范围： ⑴直线与双曲线有两个公共点； ⑵直线与双曲线的两支各有一个公共点； ⑶直线与双曲线的右支有两个公共点； ⑷直线与双曲线的两支有两个公共点． 【解析】 将直线与双曲线，化简整理得 （*） ⑴ 当，且，直线与双曲线有两个公共点， 解得； 在方程（*）有两根的情况下，记两根为，则，， ⑵ 对应方程有一正根一负根，只需，解得的取值范围为． ⑶ 对应方程有两个不同的正根，有，且，， 解得：． ⑷ 对应方程有两个不同的正根或两个不同的负根，有，且， 解得的取值范围为． 变式：已知直线与双曲线，记双曲线的右顶点为，是否存在实数，使得直线与双曲线的右支交于，两点，且，若存在，求出值：若不存在，请说明理由． 【解析】 将直线代入双曲线方程，整理得：， 设，，，于是有，， 又直线与双曲线交于右支上两点， 故有，且，，解得：． ， ， 于是有， 即，解得或， 故不满足情况，故实数不存在． 考点2、双曲线弦长问题 例2、（1）直线过双曲线：的左焦点， ①若只与的左支相交，则弦长的最小值为_____； ②若与的左右两支都相交，则弦长的最小值为_____； ③设直线截双曲线所得的弦长为：若，则满足条件的直线有____条；若，则满足条件的直线有____条；若，则满足条件的直线有_____条． （2）过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦，求的周长为双曲线的右焦点）． （3）渐近线方程为和且被直线所截得的弦长为的双曲线方程为_____________． 【解析】 ⑴ ①；②；③． ⑵ 双曲线焦点，，直线方程为． 代入双曲线方程得， ∴． 设，，∵． ∴直线与双曲线相交的两点在双曲线的左右两支上，设为左支上的点，为右支上的点，且， ∵，∴ ∵，∴ ∴的周长为 又∵， ∴ ∴的周长为 考点3、双曲线中的夹角问题 例3、已知双曲线：，设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，，证明的大小为定值． 【解析】 点在圆上， 圆在点处的切线方程为，化简得． 由及得， ∵切线与双曲线交于不同的两点、，且， ∴，且， 设、两点的坐标分别为，， 则，， ∵，且 ． ∴的大小为． 考点4、抛物线焦点弦问题 例4、（1）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的值等于 ． （2）抛物线与直线交于两点，其中点的坐标是，设抛物线的焦点，则 ． 【解析】 ⑴ ；=． ⑵ ； 将代入抛物线，得，∴． 又把代入得，直线方程． 由得，， ∴． 例5、以抛物线（）的焦点弦为直径的圆与准线切于点， （1）求这个圆的方程； （2）求的面积． 【解析】 由抛物线的方程知其准线为，设焦点弦的中点为， 由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点，可知， ，所以焦点为． ⑴ 设所在的直线的斜率为，，，则：， 与抛物线方程联立：， 由韦达定理，， ，． 将代入，得圆的圆心为，圆的半径为， 故所求圆的方程为． ⑵． 考点5、两条相关直线与抛物线相交的问题 例6、（1）从抛物线上的一个定点引两条倾斜角互补的弦，，则直线的斜率为定值． （2）抛物线的弦的端点与顶点的连线成直角时，直线过定点；反之，抛物线的弦过定点时，有． 【解析】 ⑴若定点为顶点，则直线垂直于轴； 若定点在抛物线上且不是顶点，设直线的方程是， 由得：， 由于， 故 ， 从而．同样， 直线的斜率是，因此直线的斜率为定值． ⑵直线的方程是，由得：， ∵，∴直线的方程为，同理有． 直线的斜率是， 故直线的方程是， 化简得：，（化简思路：化简时将含的项移到等式