第—讲 不等式复习-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第一讲 不等式复习 一、知识梳理 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. (3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1) ( ∈R)，当且仅当 时取等号. (2) ( ∈R)，当且仅当 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 二、典型例题 考点一 利用基本不等式求最值 1、直接求最值 例1、已知函数 (x≠0) （1）当x＞0时，求函数的最值；（2）当x＜0时，求函数的最值； 【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋ ≥2 ＝12 当且仅当3x＝ ，即x＝2时，“＝”成立。 （2）当x＜0时，－x＞0，f(x)＝3x＋ ＝－(－3x＋ )≤－2 ≤－12， 当且仅当－3x＝－ 时，即x＝－2时，“＝”成立。 变式练习：求下列函数的最值 （1） ＋ （2） ＋ 2、通过配凑法求最值 例2、设 ，则函数 的最大值为________. 解析　y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2， ＝ 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立. ∵. 的最大值为，∴函数y＝4x(3－2x)∈ 答案　 变式1：已知 ，则 的最大值为______. 解析 因为x<，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋＋3 ＝－ ≤－2＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 变式2： 已知 ，求函数f(x)＝ 的最大值。 3、 分离求最值 例3、若x＞0，求函数f(x) ＝ 的最值。 变式练习1：当x＞0时，则f(x)＝ 的最大值为________。 变式练习2：已知x＞－1，求函数f(x)＝ 的最小值。 【解析】： 当,即时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。 变式练习3：若对任意x＞0， ≤a恒成立，则a的取值范围为_________。 4、 整体代换求最值 例4、已知 ，且 ，则 的最小值是______________。 变式练习1：已知 ，且 ，则 的最小值为________。 变式练习2：已知 ，且 ，则 的最小值是__________。 变式练习3：若函数f(x)＝ EMBED Equation.KSEE3 (a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线 ，其中m、n均大于0，则的最小值为_____________。 变式练习4：设x＞0，y＞0且若 ， 恒成立，则实数 的取值范围是______________。 【解析】：x＋2y－2xy＝0， ＋ ＝1， 则(x＋2y)( ＋ )≥4，故m≤4 5、 条件求最值 例5、若实数满足，则的最小值是___________。 【解析】： 都是 正数， ≥ 当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6。 变式练习1：若，求的最小值，并求 的值。 【解析】：∵log4x＋log4y＝log4(x×y)＝2，∴x×y＝16∴＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当x＝y＝4时“＝”成立。 变式练习2：已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0， ＞0)在x＝3时取得最小值，则 ＝__________。 【解析】：6 6、 换元法求最值 例6、求函数f(x)＝ 的最值。 【解析】：f (x) ＝ ＝ ＋ 令 ＝t ( t≥2) ∴ f (t ) ＝ t＋ ( t≥2 ) 函数f(t )在 上单调递增。 ∴ 当t＝2时，f(t)有最小值 即 ＝2，x＝0，f(x)min＝ 变式练习1：求函数f(x)＝ 的值域。 考点二　基本不等式在实际问题中的应用 例7、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解　(1)设所用时间为t＝(h)， y＝，x∈[50，100]. ＋14××2× 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝x，x∈[50，100] ＋ (或y＝x，x∈[50，100]). ＋ (2)y＝， x≥26＋ 当且仅当x， ＝ 即x＝18时等号成立. 故当x＝18元.千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 三、课堂训练 1、若x＞0，则 的最小值是（ ） A、 2 B、 3 C、 2 D