第五章 锐角的三角比(1)(锐角的三角比特殊角的三角比）-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用） 第五章 锐角的三角比(1) (锐角的三角比，特殊角的三角比) 1 锐角的三角比 知识梳理 1．如图，在△中，，直角边和分别叫做的对边和邻边． 2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦． ． （2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦． ． （3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切． ． （4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切． ． 【记忆技巧】 正（正对）弦（斜边）：对边比斜边； 余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边． 例题精讲 【例1】在△中，，，，则的值是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例2】已知在△中，，，，那么的长为（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例3】如图，在△中，，，垂足为，若， ，那么的值为 ． 【参考答案】． 2 特殊角的三角比 知识梳理 1．特殊角的锐角三角比： 【记忆技巧】 1．图形推导法 2．表格记忆法 30° 45° 60° 1 1 例题精讲 【例1】已知在△中，，，那么 度． 【参考答案】60． 【例2】下列计算中错误的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例3】 计算： ． 【参考答案】 解：原式 ． 真题训练 1．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____． 【答案】． 【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H， ∵BC=7，CD=3， ∴BD=BC-CD=4， ∵AB=4=BD，∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°， ∴∠ADC=∠ADE=120°， ∴∠EDH=60°， ∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°． ∵DE=DC=3， ∴EH=DE×sin∠HDE=3×=， ∴E到直线BD的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等． 2．（2016·上海中考真题）如图，在Rt中，，，点在边上，且，，垂足为点，联结，求： （1）线段的长； （2）的余切值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算出AD的长，进而算出AE的长，在Rt△ABC中，得到AB的长，由BE=AB-AE即可得到结论； （2）过点E作EH⊥BC于H，可得到EH=BH=2，从而有CH=1，在Rt△ECH中，由三角函数定义可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，在Rt中，，， ∴，； ∵，∴， ∴ ∴，即线段的长是； （2）过点作，垂足为点． 在Rt中，，， ∴，又， ∴．在Rt中， ，即的余切值是． 3．（2012·上海中考真题）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=． （1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值． 【答案】（1）CD=； （2）. 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长； （2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可. 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=15，cosA=，∴AB=25. ∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=. （2）在Rt△ABC中，. 又AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则 在Rt△BDE中，①， 在Rt△BCE中，②， 联立①②，解得x=. ∴. 模拟题专练 一、