题型20 证明不等式-2021年高考数学题型秒杀之集合、逻辑用语、充要条件、函数、导数

秒杀高考数学题型之证明不等式 证明不等式（或比较大小）。 【题型1】：左右变量相同中的简单型，一般形如：对数（如 ） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的多项式；指数（如 ） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的多项式。 『秒杀策略』：构造函数 ，转化为求 的最值。 规范答题模板： Step1：构造函数 ； Step2：讨论 的单调性； Step3：求 的最值。 1.(高考题改编)已知函数 ( 为常数)的图象与 轴交于点 ，曲线 在点 处的切线斜率为 。 （1）求 的值及函数 的单调区间； （2）设 ，证明：当 时， 恒成立。 【解析】：（1）令 得 ， ， ， ， ，导函数为纯指数函数型， 得 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增。 (2)构造函数 = ， ，导函数为超越函数不可代特值型，令 ， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， ， ， 单调递增， ， 。 2.(高考题改编)已知函数 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求证：当 时， 。 【解析】：（1） ， = ， 切线方程为： 。 （2）左面： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 上单调递增， ； 右面：令 ， ， ，导函数属于超越函数可代特值型，令 ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 上单调递减， ， 在 上单调递减， ，即 。 【题型2】：左右变量相同中的稍复杂型，一般形如：对数（如 ） 指数（如 ）。 『秒杀策略』：构造 ，转化为求 的最值，一般情况 的最值不易求，要利用设而不求，整体代换思想解决。 规范答题模板： Step1：构造函数 ； Step2：讨论 的单调性，导数零点（极值点）存在但不可求； Step3：设而不求，设存在 ， ，并用 表示出单调区间； Step4：整体代换， 的最值 ，通过 中 满足的条件互换，使 转化为用 表示的一个不超越函数，进而证明不等式。 1.(高考题改编)已知函数 。 （1）求函数 在点 处的切线方程； （2）证明： 。 【解析】：（1） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， ， 切线方程为： ； （2） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，导函数属于超越函数不可代特值型，令 ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 上单调递增，当 时， ，当 时， ，设而不求： 存在 ，使 ，即 ，且当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，整体代换： = ，由基本不等式得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，而 ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，即 。 2.(高考题改编)已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为 。 （1）求实数 、 的值； （2）证明： 。 【解析】：（1） ， ，又由题意得 ， ，∴ ，∴ 可得 ，构造函数 ，则 在区间 内恒大于0，∴ 在区间 内单调递增，又 ，∴关于 的方程 的根为 ，把 代入 ，解得 ，∴ ， ． （2）证明：由（1）知 ，则 ，∵ 在区间 单调递增， ， ，∴ 有唯一实根，记为 ，即 ，∴ ，由 得 ，整理得 ，∵ 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增，∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，∵ ，∴ ，即 ． 【题型3】：左右变量相同中的复杂型，一般形如：对数（如 ） 指数（如 ） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的多项式。 『秒杀策略』：重新分解不等号两边的函数为： （ 带 的多项式，且有最值。） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT （ 带 的多项式，且有最值。），转化为分别求分解后两函数的最值。 规范答题模板： Step1：重新分解函数： ； Step2：分别讨论 与 的单调性，并分别求其最值； Step3：验证： ，并确定能否取到等号。 1.(2014年新课标全国卷I21)设函数 ，曲线 在点 处的切线为 。 （1）求 ； （2）证明: 。 【解析】:（1） ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， ， ； （2） ，欲证： ， ，分解函数：step1