题型18 求极值及最值-2021年高考数学题型秒杀之集合、逻辑用语、充要条件、函数、导数

秒杀高考数学题型之求极值或最值 【秒杀题型六】：求函数在某区间的极值、最值。 【题型1】：极值或最值存在且可求。 『秒杀策略』：关键是求出 的单调区间，进而求出极值或最值。 求函数 的极大(小)值规范答题模板： Step1：求导数 ； Step2：求方程 的所有实数根； Step3：考察在每个根 附近从左到右导函数 的符号如何变化，如果 的符号由正变负，则 是极大值，如果由负变正，则 是极小值，如果在 =0的根 的左、右两侧， 的符号不变，则 不是极值。可导函数 在点 取得极值的充要条件是 ，且在 左侧与右侧， 符号不同， 是 为极值点的必要条件，并非充分条件。如 ， ，但 不是极值点。 求函数 在 的最大(小)值规范答题模板： Step1：求 在开区间 内所有的极值； Step2：求函数 端点的函数值，极值与端点值进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，若最大值或最小值不确定，则一般要采用作差、构造新函数判断。 1.(2014年新课标全国卷II)函数 在 处导数存在，若 ； 是 的极值 点,则 ( ) A. 是 的充分必要条件 B. 是 的充分条件,但不是 的必要条件 C. 是 的必要条件，但不是 的充分条件 D. 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件 【解析】： ， ，选C。若函数 在 处导数存在这一条件去掉，则选D。 2.(2017年新课标全国卷II11)若是函数的极值点，则的极小值为 ( ) A. B. C. D.1 【解析】：由 得 ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的极小值为 ，选A。 3.(高考题)设函数 的定义域为 , 是 的极大值点，以下结论一定正确的是 ( ) A. B. 是 的极小值点 C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点 【解析】: 极值是一个局部概念， 选项A错误； 与 关于 轴对称， 是 的极大值点， 选项B错误； 与 关于 轴对称， 是否是 的极值点不确定， 选项C错误； 与 关于原点对称， 是 的极小值点， 选D。 4.(2018年新课标全国卷I16)已知函数 ，则 的最小值是 。 【解析】： 最小正周期为 ， ，令 ,即 ，∴ 或 ，∴当 为函数的极小值点，即 或 ,当 即 时，∴ ， ， ， ，∴比较得 。 5.(2015年新课标全国卷II21)设函数 。 （1）证明: 在 单调递减，在 单调递增； （2）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围。 【解析】：（1）Step1： （超越函数），当 时， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 设 ，则 ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 上单调递增， ， 当 时， ，当 时， ， 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增。 Step2：可知 ， ，而 恒成立，只需 ， Step3：（最大值不确定，所以均代入。）需： ，设 ， ， 在 单调递增，在 单调递减，而 ， ， ，同理由 得 ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 。 6.(高考题)设函数 (其中 )。 （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）当 时，求函数 在 上的最大值 。 【解析】:（1）Step1：当 时， ，导函数为超越函数可分解因式型，令 ，得 ， ，类比于开口向上的二次函数， 函数 的递减区间为 ，递增区间为 ， 。 （2）Step2： ，令 ，得 ， ， ， 函数 的递减区间为 ，递增区间为 ， ， Step3：（最大值不确定，需作差构造函数比较。） EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 和 大小不确定，作差比较：令 ， ，导函数为超越函数可分解因式型，令 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 在 上递减，而 ， 存在 使得 （存在隐零点，设而不求。），且当 时， ，当 时， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ， EMBED Equation.DSMT4 在 上恒成立，当且仅当 时取得“ ”。 7.(2012年新课标全国卷21)已知函数 满足 。 （1）求 的解析式及单调区间； （2）若 ，求 的最大值。