专题20 放回不放回问题-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题20 放回不放回问题 例1． 有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中，每只球的放置相互独立． (1)求三只小球恰在两个盒子中的概率； (2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率； (3)记录至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最大值，求 例2． 为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为. (Ⅰ)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数； (Ⅱ)用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望． 例3． 已知一个口袋中装有n个红球(且)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖． （Ⅰ）当时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列； （II）记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？ 例4． 袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数. （1）求随机变量的概率分布列和数学期望； （2）求甲取到白棋的概率. 例5． 袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为, (1)求取球3次则停止取球的概率; (2)求随机变量的分布列. 例6． 某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值 为，当时,产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品， 并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率) 配方的频数分配表 指标值分组 频数 10 30 40 20 配方的频数分配表 指标值分组 频数 5 10 15 40 30 （Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率； （Ⅱ）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 例7． 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为，，，，，． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求取出的两个球编号之和为的概率． （Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求恰有次抽到号球的概率． （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列． （Ⅳ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，记球的最大编号为，求随机变量的分布列． 例8． 从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同. (Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次. (ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； (ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差. (Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列. 例9． 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （1）求最后取出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求的分布列和数学期望 例10．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖． (1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列； (2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大． 例11