专题18 保险问题-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题18 保险问题 例1． 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为。 （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）。 【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为， 则 （Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分 ， 又，故 （Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和。 支出， 盈利， 盈利的期望为， 由知，， 。 （元）。 故每位投保人应交纳的最低保费为15元 例2． 某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限； （Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 【解析】（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为 保险公司期望收益为 根据规则 解得元， 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元， 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元. （Ⅱ）购买类产品的份数为份， 购买类产品的份数为份， 购买类产品的份数为份， 企业支付的总保费为 元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为元. 例3．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为、、三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）. 对于、、三类工种职工每人每年保费分别为元，元，元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. （Ⅰ）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费、所要满足的条件； （Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择； 方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工； 方案2：企业于保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付. 若企业选择翻翻2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费、所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作.（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（Ⅰ）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作.） 【解析】（Ⅰ）设工种，，职工的每份保单保险公司的效益为随机变量，，，则，，的分布列为 保险公司期望收益， ， . 根据要求 . 解得， 所以每张保单的保费需要满足元. （Ⅱ）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为 . 若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为 . 解得， 结果与（Ⅰ）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作. 例4． 某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为、、三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）： 工种类别 A B C 赔付频率 已知、、三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元. （1）求保险公司在该业务所获利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择： 方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责，出险