专题17 道路通行问题-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题17 道路通行问题 例1． 某人某天的工作是，驾车从地出发，到，两地办事，最后返回地，，三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表： 路段 正常行驶所需时间（小时） 上午降水概率 下午降水概率 2 0.3 0.6 2 0.2 0.7 3 0.3 0.9 若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时． 现有如下两个方案： 方案甲：上午从地出发到地办事然后到达地，下午在地办事后返回地； 方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地 （1）若此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率； （2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？ 例2． 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到． (1)求李先生的小孩按时到校的概率； (2)李先生是否有七成把握能够按时上班？ (3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值． 例3． 2018年11月6日-11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行。在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为，走路线乙堵车的概率为p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。 （1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求p的值。 （2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望。 例4． 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为.若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响. （1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望. 例5． 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路.统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为，走公路Ⅱ堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响. （Ⅰ）求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率； （Ⅱ）求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率. 例6． 张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图。（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）。（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望。 例7． 自驾游从地到地有甲乙两条线路，甲线路是，乙线是，其中段、段、段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率在上变化，在上变化.在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据. CD段 EF段 GH段 堵车概率 平均堵车时间 （单位：小时） 2 1 （表1） 堵车时间（单位：小时） 频数 8 6 38 24 24 （表2） （1）求段平均堵车时间的值. （2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率. （3）在(2)的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望。 例8． 如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口。如果