专题16 决策问题-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题16 决策问题 例1． 某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元件． （1）设日销售40个零件的概率为，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写出z关于p的函数关系式． （2）试销结束后统计得到该4S店这30内的日销售量单位：件的数据如下表： 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元件；小箱每箱有40件，批发价为600元件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率． 该4S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设日销售量为80件的概率为． （i）设该4S店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y，求EX和EY； （ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按什么方案批发零件？ 例2． 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元． （1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 例3． 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为． （1）若出现故障的机器台数为，求的分布列； （2）该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？ （3）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望． 例4． 某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布，（单位：微米，且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格． （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望； （2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 例5． 某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到； （2）若从这80个零件中尺寸位于，之外的零件中随机抽取4个，设表示尺寸在，上的零件个数，求的分布列及数学期望； （3）已知尺寸在，上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由． 例6． 某单位准备购买三台设备，型号分别为，，已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品