专题14 二项分布-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题14 二项分布 例1．已知随机变量，那么随机变量的均值　　 A． B． C．2 D． 例2．设随机变量满足，则函数无零点的概率是　　 A． B． C． D． 例3．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，，2，3，，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，3，，那么　　 A． B． C． D． 例4．已知随机变量，满足，若，则，分别是　　 A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 例5．设随机变量，满足：，，若，则　　 A．4 B．5 C．6 D．7 例6．已知，并且，则方差　　 A． B． C． D． 例7．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于　　 A． B． C． D． 例8．已知随机变量服从二项分布．若，，则　　 A． B． C． D． 例9．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是　　 A． B． C． D． 例10．我国的研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件和元件按如图方式连接而成．已知元件至少有一个正常工作，且元件正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件和元件正常工作超过10000小时的概率分别为和． （Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率； （Ⅱ）某城市基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数． 例11．设有3个投球手，其中一人命中率为，剩下的两人水平相当且命中率均为，，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为． （1）当时，求数学期望及方差； （2）当时，将的数学期望用表示． 例12．某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率． 例13．一个盒子里有2个黑球和个白球．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中． （Ⅰ）求每次中奖的概率（用表示）； （Ⅱ）若，求三次摸奖恰有一次中奖的概率； （Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取得最大值？ 例14．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下： 红灯 1 2 3 4 5 等待时间（秒 60 60 90 30 90 （1）设学校规定后（含到校即为迟到，求这名学生迟到的概率； （2）设表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值； （3）设表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量的分布列和数学期望． 例15．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示： 幸福感指数 ， ， ， ， ， 男市民人数 10 20 220 125 125 女市民人数 10 10 180 175 125 根据表格，解答下面的问题： （Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据： （Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率） 例16．德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立， 课程 初等代数 初等几何 初等数论