专题02 非线性回归方程-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题2 非线性回归方程 例1． 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据： 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程．精确到个位，精确到． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）． 回归方程 ① ② 30407 14607 参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为． ②刻画回归效果的相关指数． ③参考数据：，． 5.5 449 6.05 83 4195 9.00 表中． 例2． 近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的以上，居世界第一位．如表截取了年中国高铁密度的发展情况（单位：千米万平方千米）． 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份代码 1 2 3 4 5 高铁密度 9.75 11.49 17.14 20.66 22.92 已知高铁密度与年份代码之间满足关系式，为大于0的常数）．若对两边取自然对数，得到，可以发现与线性相关． （1）根据所给数据，求关于的回归方程，保留到小数点后一位）； （2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米万平方千米． 参考公式：设具有线性相关系的两个变量，的一组数据为，，2，， 则回归方程的系数：，． 参考数据：，，，，，． 例3． 某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）： 产品的质量指数在的为三等品，在的为二等品，在的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.30 24.87 0.41 1.64 表中，，， 根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程. （ⅰ）建立关于的回归方程； （ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取） 参考公式：对于一组数据：，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为， 例4． 近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图 x 50 100 150 200 300 400 t 90 65 45 30 20 20 （1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列； （2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数） （3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准） 参考数据： 例5． 已知某种细菌的适宜生长温度为，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：）变化的规律，收集数据如下： 温度/ 12 14 16 18 20 22 2