专题01 线性回归方程-2021年新高考数学题型全归纳之概率统计

专题1 线性回归方程 例1．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为　　 （次数分钟） 20 30 40 50 60 25 27.5 29 32.5 36 A． B． C． D． 【解析】解：由题意，得， ， 则； 当时，． 故选：． 例2．已知下列说法： ①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位； ②在线性回归模型中，相关指数越接近于1，则模型回归效果越好； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ⑤演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”． 其中说法错误的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】解：①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均减少5个单位，故①不正确； ②在线性回归模型中，相关指数越接近于1，则模型回归效果越好，故②正确； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1，故③不正确； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，所以④正确； ⑤演绎推理是从一般到特殊的推理，它的一般模式是“三段论”．所以⑤不正确； 故选：． 例3．变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为　　 4 5 6 7 8.2 7.8 6.6 5.4 A． B． C． D． 【解析】解：，， 则样本点的中心的坐标为， 代入，得， 则． 故选：． 例4．我国技术研发试验在年进行，分为关键技术试验、技术方案验证和系统验证三个阶段实施．2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来手机的实际销量，如表所示： 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号 1 2 3 4 5 销量部 50 96 185 227 若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是　　 A． B．与正相关 C．与的相关系数为负数 D．12月份该手机商城的手机销量约为365部 【解析】解：根据表中数据，可得， ， 于是，，即，故正确； 由回归方程中的系数大于0，可知与正相关，且相关系数，故正确，错误； 12月份时，，部，故错误． 故选：． 例5．已知与之间的一组数据： 0 1 2 3 3 5.5 7 已求得关于与的线性回归方程，则的值为　0.5　． 【解析】解：，， 这组数据的样本中心点是， 关于与的线性回归方程， ，解得， 的值为0.5． 故答案为：0.5． 例6．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如表所示： 价格 8.5 9 11 11.5 销售量 12 6 7 5 已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的　10　． 【解析】解：依题意，代入回归直线方程得①，根据题意②，解①②组成的方程组得， 故答案为：10． 例7．已知一组数据点： 用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，的平均数为1，则　16　． 【解析】解：由题意，，设样本点的中心为， 又线性回归方程为，则， ． 故答案为：16． 例8．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，． （1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求关于的线性回归方程； （3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表： 使用年限 台数 款式 1年 2年 3年 4年 5年 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？ 参考公式：相关系数． 对于一组具有线性相关关系的数据，，2，，，其回归直线的斜