专题四 规范答题及培优点-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

规范答题4　立体几何 [命题分析] 立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等. 典例　(12分)(2020·新高考全国Ⅰ)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 步骤要点 规范解答 阅卷细则 (1)找垂直：通过证明垂直关系寻找(或作出)具有公共交点的三条两两互相垂直的直线. (2)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设)点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量. (3)求关系：根据已知条件计算夹角或寻找关系. (4)得结论：根据计算结果得到题目结论. (1)证明　在正方形ABCD中，AD∥BC， 因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC， 又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l， 所以AD∥l，3分 因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， 所以AD⊥DC，所以l⊥DC， 且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD， 因为CD∩PD＝D， 所以l⊥平面PDC. 5分 (2)解　如图建立空间直角坐标系D－xyz， 因为PD＝AD＝1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)， A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，7分 设Q(m,0,1)， 则有＝(0,1,0)，＝(m,0,1)，＝(1,1，－1)， 设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则z＝－m， 所以平面QCD的一个法向量为n＝(1,0，－m)，9分 则cos〈n，〉＝＝.10分 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于 |cos〈n，〉|＝ ＝×＝× ≤×≤×＝， 当且仅当m＝1时取等号， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.12分 (1)证明平行、垂直关系条件不严谨扣1分；(2)正确建立空间直角坐标系得1分； (3)指明直线与平面所成角的正弦值等于|cos〈n，〉|，没有正确求得最值得1分； (4)其他方法建立空间直角坐标系计算正确同样给分. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优点14　截面问题 【方法总结】 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 【典例】1　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面． 【解析】　作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M. ②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K. ③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H. ④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面． (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　) A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】　D 【解析】　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G， 由题意得GH∥EF，AH∥A1F， 又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， ∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF， 又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1， ∴平面AHGD1∥平面A1EF， 故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形． 【典例】2　(1)(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝.故选A. (2)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________． 【答案