专题四 第3讲 立体几何与空间向量-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

第3讲　立体几何与空间向量 【要点提炼】 考点一　利用空间向量求空间角 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ， 则cos θ＝＝. (2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ， 则sin θ＝＝|cos〈a，u〉|. (3)二面角 设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝＝|cos〈u，v〉|. 【热点突破】 考向1　求线面角 【典例】1　 (2020·宁波余姚中学月考)如图，已知三棱锥P－ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝PC＝2，∠ABC＝120°. (1)求证：PA⊥BC； (2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 考向2　二面角 【典例】2　(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B－PC－E的余弦值． 【拓展训练】1　如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点． (1)求证：AA1⊥BD； (2)求二面角E－A1C1－C的余弦值． 【要点提炼】 考点二　利用空间向量解决探究性问题 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断． 【热点突破】 【典例】3　如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点． (1)求证：EM⊥AD； (2)求二面角A－BE－C的余弦值； (3)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【拓展训练】2　如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，E为棱AA1上的点，且AE＝. (1)求证：BE⊥平面ACB1； (2)求二面角D1－AC－B1的余弦值； (3)在棱A1B1上是否存在点F，使得直线DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的长；若不存在，请说明理由． 专题训练 1.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AD＝AC＝2，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，P为AB的中点，E为BD的中点． (1)求证：AE⊥平面BCD； (2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值． 2．(2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求二面角A－MA1－N的正弦值． 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠CDA＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝，PD＝2，点E在棱AD上且AE＝1，点F为棱PD的中点． (1)证明：平面BEF⊥平面PEC； (2)求二面角A－BF－C的余弦值． 4. (2020·潍坊模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； (3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 第3讲　立体几何与空间向量 【要点提炼】 考点一　利用空间向量求空间角 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ， 则cos θ＝＝. (2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ， 则sin θ＝＝|cos〈a，u〉|. (3)二面角 设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝＝|cos〈u，v〉|. 【热点突破】 考向1　求线面角 【典例】1　 (2020·宁波余姚中学月考)如图，已知三棱锥P－ABC，平