专题三 规范答题及培优点-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

规范答题3　数　列 [命题分析] 数列是高考解答题中的基础题目，一般考查等差数列、等比数列的基本量和简单的通项及求和问题. 典例　(12分)(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和. 步骤要点 规范解答 阅卷细则 (1)根据等比数列中，a1为a2，a3的等差中项列式子求解公比q. (2)利用错位相减法求和即可. 解　(1)设{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项， ∴2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，2分 ∵q≠1，∴q＝－2. 4分 (2)设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，5分 Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，① －2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)(－2)n－1＋n(－2)n，②7分 ①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n ＝－n(－2)n＝，10分 ∴Sn＝，n∈N*.12分 (1)列出关于q的方程即得2分； (2)没有指明q≠1的扣1分； (3)正确写出Sn即得1分； (4)错位相减第一个等号计算正确即得2分； (5)最后结果写成通分形式不扣分. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优点12　用“不动点法”求数列的通项公式 【方法总结】 对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． 【典例】　(1)在数列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式． 【解析】　设f(x)＝x＋1， 令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2， ∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点， ∴an＋1－2＝(an－2)， ∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列， ∴an－2＝－1×n－1， ∴an＝2－n－1，n∈N*. (2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式． 【解析】　由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2， ＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1， 解得an＝＋2＝，n∈N*. 【方法总结】 (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列． (2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·. 【拓展训练】 1．已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式． 【解析】　设f(x)＝－x－2， 由f(x)＝x，得x＝－. ∴an＋1＋＝－， 又a1＝4， ∴是以为首项，以－为公比的等比数列， ∴an＋＝×n－1， ∴an＝－＋·n－1，n∈N*. 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 【解析】　解方程x＝， 化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1， 令＝c·， 由a1＝2，得a2＝，可得c＝－， ∴数列是以＝为首项，以－为公比的等比数列，∴＝·n－1， ∴an＝. 3．设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．求数列{bn}的通项公式． 【解析】　由已知得an＋1＝， 由方程x＝，得不动点x1＝，x2＝. 所以＝＝·， 所以数列是首项为－2，公比为的等比数列， 所以＝－2×n－1＝－， 解得an＝.故bn＝＝，n∈N*. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优点12　用“不动点法”求数列的通项公式 【方法总结】 对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． 【典例】　(1)在数列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式． (2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式． 【拓展训练】 1．已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式． 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 3．设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．求数列{bn}的通项公式． 原创精品资源学科网独家享