专题三 第2讲 数列求和及其综合应用-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

第2讲　数列求和及其综合应用 【要点提炼】 考点一　数列求和 1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有： ＝－；＝；＝；＝. 2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式． 【特点突破】 考向1　分组转化法求和 【典例】1　已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn. 考向2　裂项相消法求和 【典例】2　(2020·莆田市第一联盟体学年联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－2n，{bn}为正项等比数列，且b1＝a1＋3，b3＝6a4＋2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn. 考向3　错位相减法求和 【典例】3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an>0，且a－2an＋1an－3a＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3(1＋Sn)，求数列{anbn}的前n项和Tn. 【拓展训练】1　(1)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a8等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)(2020·武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为的数列{an}满足2(2n＋1)anan＋1＋an＋1＝an，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 020等于(　　) A. B. C. D. (3)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． ①求数列{an}与{bn}的通项公式； ②记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn. 【要点提炼】 考点二　数列的综合问题 数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明． 【热点突破】 【典例】4　(1)(2020·日照模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 017＋a2 018＋ a2 019＋a2 020等于(　　) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 (2)(2020·洛阳第一高级中学月考)已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【拓展训练】2　(1)(2020·中国人民大学附属中学模拟)在数列{an}中，已知an＝n2＋λn，n∈N*，则“a1<a2”是“{an}是单调递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设曲线y＝2 020xn＋1(n∈N*)在点(1，2 020)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝log2 020xn，则a1＋a2＋…＋a2 019的值为(　　) A．2 020 B．2 019 C．1 D．－1 专题训练 一、单项选择题 1．(2020·聊城模拟)数列1,6,15,28,45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为(　　) A．153 B．190 C．231 D．276 2．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020等于(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为(　　) A.×(310－1) B.×(910－1) C.×(279－1) D.×(2710－1) 4．已知数列{an}和{bn}的首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2 021等于(　　) A．2 021 B. C．4 041 D. 5．定义在[0，＋