专题三 第1讲 等差数列与等比数列-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

第1讲　等差数列与等比数列 【要点提炼】 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. (3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d； (4)等比数列的求和公式：Sn＝ 【热点突破】 【典例】1　(1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为(　　) A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺 (2)已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上(n∈N*)．数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.则Tn的最小值为________． 【拓展训练】1　(1)(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则(　　) A．d<0 B．a16<0 C．Sn≤S15 D．当且仅当n≥32时，Sn<0 【要点提炼】 考点二　等差数列、等比数列的性质 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an. 【热点突破】 【典例】2　(1)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a5＋a7－a＝0，则S11的值为(　　) A．11 B．12 C．20 D．22 (2)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于(　　) A．2 020 B．1 010 C．2 D. 【拓展训练】2　(1)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　) A．12 B．24 C．30 D．32 (2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于(　　) A．－510 B．400 C．400或－510 D．30或40 【要点提炼】 考点三　等差数列、等比数列的探索与证明 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1 (n≥2) a＝an－1an＋1 (n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn (a，b为常数) Sn＝kqn－k (k≠0，q≠0,1) 证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． 【热点突破】 【典例】3　(2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 【拓展训练】3　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是不是等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 专题训练 一、单项选择题 1．在等比数列{an}中，若a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．5 2．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有(　　) A．a6≤b6 B．a6≥b6 C．a12≤b12 D．a12≥b12 4．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于(　　) A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln n C．2n＋nln n D．1＋n＋nln n 5．已知数列{an}的前n