专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

第3讲　 三角恒等变换与解三角形 【要点提炼】 考点一　三角恒等变换 1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 【热点突破】 【典例】1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　) A.　 B. C. D. 【答案】　A 【解析】　由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝＝＝. (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. 【方法总结】 　(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【拓展训练】1　(1)已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　) A．α＋β＝ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋2β＝ 【答案】　B 【解析】　tan α＝＝ ＝ ＝＝＝tan， 因为α∈，β∈， 所以α＝＋β，即α－β＝. (2)(tan 10°－)·＝________. 【答案】　－2 【解析】　(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)·＝·＝·＝－＝－2. 【要点提炼】 考点二　正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【热点突破】 考向1　求解三角形中的角、边 【典例】2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c. (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4，求a的值． 解　(1)由正弦定理及＝c， 得＝sin C， ∵sin C≠0，∴sin A＝(1－cos A)， ∴sin A＋cos A＝2sin＝， ∴sin＝， 又0<A<π，∴<A＋<， ∴A＋＝，∴A＝. (2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝4，∴bc＝16. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3bc， 又b＋c＝10，∴a2＝102－3×16＝52，∴a＝2. 考向2　求解三角形中的最值与范围问题 【典例】3　(2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝csin A－acos C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________． (1)求角C； (2)求△ABC周长的最大值． 解　(1)选①：因为a＝csin A－acos C， 所以sin A＝sin Csin A－sin Acos C， 因为sin A≠0，所以sin C－cos C＝1， 即sin＝， 因为0<C<π，所以－<C－<， 所以C－＝，即C＝. 选②：因为(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C， 所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2， 即a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝， 因为0<C<π，所以C＝. (2)由(1)可知，C＝， 在△ABC中，由余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝3，即a2＋b2－ab＝3， 所以(a＋b)2－3＝3ab≤， 所以a＋b≤2，当且仅当a＝b时等号成立， 所以a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为