专题二 第2讲 三角函数的图象与性质-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

第2讲　 三角函数的图象与性质 【要点提炼】 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 【热点突破】 【典例】1　(1)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　角α的终边上一点的坐标为，即为点，在第四象限，且满足cos α＝，sin α＝－，故α的最小正值为，故选C. (2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】　C 【解析】　∵sin θ＝cos(2π－θ)， ∴sin θ＝cos θ，得tan θ＝， ∴tan 2θ＝＝＝－. 二级结论　(1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可知一求二． 【拓展训练】1　(1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】　D 【解析】　2tan θ－tan＝2tan θ－＝7， 解得tan θ＝2. (2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)等于(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】　D 【解析】　sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－， 所以sin α＝＝＝. 即sin·tan(π＋α)＝.故选D. 【要点提炼】 考点二　三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换 【热点突破】 【典例】2　(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f 等于(　　) A．－2 B．－ C. D．2 【答案】　C 【解析】　∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2. 又f(x)＝Asin(2x＋φ)是奇函数， ∴φ＝kπ(k∈Z)，∵|φ|<π，∴φ＝0， ∴f(x)＝Asin 2x，则g(x)＝Asin x， ∵g＝，即Asin ＝，∴A＝2. ∴f(x)＝2sin 2x， ∴f ＝2sin＝.故选C. (2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点； ②f(x)在上单调递增； ③ω的取值范围是. 【答案】　②③ 【解析】　依题意得f(x)＝sin＝sin， T＝，如图： 对于①，根据图象可知，xA≤2π<xB，f(x)在(0,2π)上有3个极大值点，f(x)在(0,2π)上有2个或3个极小值点，故①不正确； 对于③，因为xA＝－＋T＝－＋×＝，xB＝－＋3T＝－＋3×＝，所以≤2π<，解得≤ω<，所以③正确； 对于②，因为－＋T＝－＋×＝，由图可知f(x)在上单调递增，因为ω<<3，所以－＝<0，所以f(x)在上单调递增，故②正确．故②③正确． 易错提醒　(1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上． (2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别． 【拓展训练】2　(1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　由图象知π<T<2π， 即π<<2π，所以1<|ω|<2. 因为图象过点， 所以cos＝0， 所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝－k－，k∈Z. 因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝. 故f(x)的最小正周期为T＝＝. (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f 的值为(　　) A．1 B. C. D. 【答案】　B 【解析】　＝|Px－Qx|＝(Px，Qx分别为P，Q的横坐标)，T＝π＝，ω＝2；点P为最高点，代入P的坐标得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，f(x)＝sin，f ＝sin＝sin ＝，故选B. 【要点提炼】 考点三　三角函数的性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函