专题二 第1讲 平面向量-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

专题二 第1讲　平面向量 【要点提炼】 考点一　平面向量的线性运算 1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果． 2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． 【热点突破】 【典例】1　(1)如图所示，AD是△ABC的中线，O是AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】　A 【解析】　由题意知，＝(＋)＝× ＝(－)＋＝－， 则λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝－. (2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，则＝________. 【答案】　－2 【解析】　∵a∥b，∴m×(－1)＝2×n，∴＝－2. (3)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】　(1，＋∞) 【解析】　由题意可得，＝k＝kλ＋kμ(0<k<1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)． 易错提醒　在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化． 【拓展训练】1　(1)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________. 【答案】　 【解析】　由题意可设＝x(0<x<1)， 则＝x(＋)＝x＝＋x. 因为＝λ＋μ，与不共线， 所以λ＝，μ＝x，所以＝. (2)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的一个动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________． 【答案】　[1,3] 【解析】　设扇形的半径为1，以OB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B(1,0)，A，C(cos θ，sin θ) . 则＝(cos θ，sin θ)＝x＋y(1,0)， 即 解得x＝，y＝cos θ－， 故x＋3y＝＋3cos θ－sin θ ＝3cos θ－sin θ，0≤θ≤. 令g(θ)＝3cos θ－sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－sin θ在上单调递减， 故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3， 当θ＝时，g(θ)取得最小值为1， 故x＋3y的取值范围为[1,3]． 【要点提炼】 考点二　平面向量的数量积 1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝. 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝＝. 【热点突破】 【典例】2　(1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】　D 【解析】　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a＋b|＝7， ∴cos〈a，a＋b〉＝＝ ＝＝. (2)已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，＝－，则·的值为(　　) A．3 B．4 C．－3 D．－4 【答案】　C 【解析】　如图，连接CO， ∵点C是弧AB的中点， ∴CO⊥AB， 又∵OA＝OB＝2，＝－，∠AOB＝， ∴·＝(－)· ＝－·＝－·(－) ＝·－2 ＝×2×2×－×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________________． 【答案】　 【解析】　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)， 则＋＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|＋|＝ ＝，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|＋|取得最大值为2， 当λ＝时，|＋|取得最小值为， ∴|＋|∈. 易错提醒　两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【拓展训练】2　(1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【答案】