考点11 平面向量的坐标运算-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点11 平面向量的坐标运算 知识理解 一．平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘及向量的模 设＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)， λ＝(λx1，λy1)，||＝. 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共线⇔x1y2－x2y1＝0. 4．向量的夹角 （1）已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π] （2）夹角cos θ＝＝ 5．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量，b的夹角为θ，则数量||||·cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作· 投影 ||cos θ叫做向量在方向上的投影， ||cos θ叫做向量在方向上的投影 几何意义 数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积 拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即·＝·⇏＝ ②结合律，即(·)·⇏·(·)． 6．向量数量积的运算律 (1)·＝·. (2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·. (3)(＋)·＝·c＋· 7．向量在平面几何中的应用 问题类型 公式表示 线平行、点共线等问题 ∥⇔＝λ⇔x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0 垂直问题 ⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，为非零向量 夹角问题 cos θ＝(θ为向量，b的夹角)，其中，为非零向量 长度问题 ||＝＝，其中＝(x，y)，为非零向量 考向一 向量坐标的加减法考向分析 【例1】（2020·全国高三专题练习）已知点则与同方向的单位向量为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,所以与同方向的单位向量为，故选A. 【举一反三】 1.（2020·全国高三专题练习）已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　) A．(－8,1) B． C． D．(8，－1) 【答案】B 【解析】设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝， 所以，解得，即， 故选B. 2．（2020·四川资阳市·高三）已知，，，，则向量（ ）. A． B． C．4 D．6 【答案】C 【解析】，，所有.故选：C 考向二 向量坐标的垂直平行运算 【例2】（1）（2020·河津中学高三月考）向量，若，则k的值是（ ） A．1 B． C．4 D． （2）（2020·海口市·海南中学高三月考）3.设向量，，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）B（2）A 【解析】（1）因为所以， 因为，所以 ，所以故选：B （2）因为，，所以， 当时，则有，解得.故选：A. 【举一反三】 1．（2020·贵州安顺市·高三）已知向量，若，则实数的值为（ ） A． B．-3 C． D．3 【答案】B 【解析】，，，则有，解得：.故选：B 2．（2020·宁县第二中学）已知平面向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B. 3．（2020·永安市第三中学高三期中）已知向量，，若，且，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，，则， 又，所以，解得 .故选：D． 4．（2020·西藏拉萨市）设，向量，，，且，，则_____________. 【答案】0 【解析】因为向量，，，且，，所以，得， ，解得，所以.故答案为：0 考向三 模长 【例3】（1）（2021·全国高三专题练习）已知，，则（ ） A．2 B． C．4 D． （2）（2020·舒兰市实验中学校高三学业考试）若，则（ ） A．0 B． C．4 D．8 【答案】（1）C（2）B 【解析】（1）由题得=（0,4）所以．故选C （2）因为.所以.故选：B. 【举一反三】 1．（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）已知向量，，则（ ） A． B．2 C． D．50 【答案】A 【解析】由题意得，所以，故选：A 2．（2020·黑龙江大庆市·大庆中学）已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知向量，，且，则，解得，因此，.故选：B. 3．（2020·静宁县第一中学高三）已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ） A．25 B．7 C．5 D． 【答案】D 【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为， 所