第四章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第四章　第3节 1．设向量a，b满足|a＋b|＝， |a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　B．2 　　　C．3　　　D．5 解析：A　[由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.] 2．已知a与b的夹角为，a＝(1,1)，|b|＝1，则b在a方向上的投影为(　　 ) A. D. C. B. 解析：C　[根据题意，a与b的夹角为.]＝，且|b|＝1，则b在a方向上的投影|b|cos 3．已知D是△ABC所在平面内一点，且满足()＝0，则△ABC是(　　) －)·(－ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：A　[(，设BC＝a，AC＝b，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]·＝·＝0，所以)·－)＝(－)·(－ 4．(2020·重庆市一模)已知向量a＝(－1,3)，b＝b与a的夹角为(　　) ，若a⊥b，则a＋ A. B. C. D. 解析：B　[因为a⊥b，所以，故选B.].因为θ∈[0，π]，所以θ＝＝b与a的夹角为θ，则cos θ＝b＝(2,4)．设a＋，所以a＋×3－n＝0，解得n＝ 5．(多选题)(2020·包头市一模)已知|a|＝1，|b|＝，则(　　) ，且|a＋2b|＝ A．(a－b) a＋b)⊥( B．a·b＝－ C．向量a与b的夹角为150° D．|2a＋b|＝1 解析：ACD　[本题考查平面向量的数量积、向量的夹角以及向量的模的运算．因为|a|＝1，|b|＝＝1，故D正确．]＝，所以θ＝150°，故C正确；|2a＋b|＝＝－，故B错误；设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a－b)，故A正确；由|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝7，得a·b＝－a＋b)⊥(a－b)＝3a2－b2＝0，所以(a＋b)·(，所以( 6．设向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，满足(a＋b)·(a－b)＝0，则m＝________. 解析：向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，则a＋b＝(3,2m)，a－b＝(－1,4m)，由(a＋b)·(a－b)＝0，得－3＋8m2＝0，解得m＝±. 答案：± 7．(2019·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则)＝________.＋·( 解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2， )＝＋2·()＝＋·( ＝4.·2＋2 答案：4 8．(双空填空题)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 解析：本题考查向量数量积的垂直性质．由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝·cos θ＝0，解得cos θ＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2 3＋2＝6.× 答案：　6 9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影． 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c)a＝0·a＝0. (2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a＋λb与a垂直， ∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝..∴λ的值为 (3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ. ∴|a|cos θ＝＝ ＝－.＝－ 10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且.＝－· (1)求△ABC的面积； (2)若AB＝5，求AD的长． 解：(1)∵|＝15，|·|，即||＝－|·|||·cos∠BAC＝－|·|，∴|＝－· ∴S△ABC＝.＝×15×|sin ∠BAC＝|·|| (2)法一：由AB＝5得AC＝3， 延长AD到E，使AD＝DE，连接BE. ∵BD＝DC, ∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°， 且BE＝AC＝3. 设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得： (2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos ∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝.，即AD的长为 法二：由AB＝5得AC＝3， 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7. 由正弦定理得，＝ 得sin ∠ACD＝.＝＝ ∵0°<∠ACD<90°