考点16 数列求和常用方法-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点16 数列求和的常用方法 知识理解 一．公式法 1.等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋. 2.等比数列{an}的前n项和Sn＝ 二．裂项相消求和 1.通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数， 2.解题思路 3． 错位相减法 1. 通项特征：一次函数*指数型函数 2. 解题思路 4． 分组转化求和 1.通项特征：或 2.解题思路 考向一 裂项相消求和考向分析 【例1】（2020·四川成都市·华阳中学）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，∴，解得， 当时，由①可得，②， ①－②：， ∵，∴，∴，即∴， ∴是以为首项，以为公差的等差数列， ∴ 综上所述，结论是：. （2）由（1）可得 ∴， 综上所述，. 【方法总结】 裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型，其中是公差为的等差数列； （2）无理型； （3）指数型； （4）对数型. 【举一反三】 1．（2021·全国高三专题练习）已知，设，数列的前项和______. 【答案】 【解析】由，， 所以数列{}前项和为 .故答案为：. 2．（2020·上海市金山中学高三期中）已知数列满足，则数列的前n项和为______． 【答案】 【解析】当时，由，得， 两式相减，得，又，适合，所以 所以 所以． 故答案为： 3．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考）已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列体的通项公式： （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设数列的公差为， ∵，，∴，，解得，. ∴. （2）由（1）得，， ∴. 考向二 错位相减求和 【例2】（2021·石嘴山市第三中学高三期末）设数列､的前项和分别为､，且，， （1）求数列､的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）由得， 当时，， 当时，也适合，故. 由得，得， 当时，，得， 又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 综上所述：，. （2）， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 【举一反三】 1．（2020·黑龙江高三月考）设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，①得，② ①②，得，所以， 又，，所以，，， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）由（1）得，， 所以，③ ，④ ③④得，，所以. 2．（2020·湖南省平江县第一中学高三月考）已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式. （2）设，且，求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由得，，， 故，，故， 即是为首项，公比为的等比数列，故； （2）由（1）知，，设的前项和， ， ， 作差得， ， 即， ，化简得，故的前项和为. 3．（2020·海口市第四中学高三期中）已知数列的前n项和为，且 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】（1）数列的前n项和为，且①， 当时，解得：，当时，②， ①-②得：，故：(常数)， 所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 所以，(首项符合通项)，故：. （2） 所以， ， 两式相减得，，因此. 4．（2020·四川宜宾市·高三一模）已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）因为方程两根为或7， 又､是方程的两根，数列是递增的等差数列， ，，设公差为，则，解得，. . 对于数列，， 当时，，解得； 当时，， 整理得，即，所以数列是等比数列， （2）， 数列的前项和，， ...... 两式相减可得......， . 考向三 分组求和 【例3】（2020·全国）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， ∴数列的通项公式为，∴. 又，∴， ∵数列是公比为2的等比数列， ∴，∴； （2）由题意得， . 【举一反三】 1．（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）设是公比为正数的等比数列， ，. （1）求的通项公式； （2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意设等比数列的公比为q，， ，， ，即， 的通项公式. （2）是首项为1，公差为2的等差数列， ， 数列的前n项和. 2．（2020·江苏连云港市）已知等比数列中，且