专题一 第5讲 母题突破（导数与不等式的证明、恒成立问题与有解问题、零点问题）-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

专题一 第5讲　导数的综合应用 【情报站】 1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题压轴形式出现，难度较大． 母题突破1　导数与不等式的证明 　(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. 母题 (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. 思路分析 ❶fx≤－eq \f(3,4a)－2 　　　↓ ❷fxmax≤－eq \f(3,4a)－2 　　　↓ ❸fxmax＋eq \f(3,4a)＋2≤0　　　 ↓ ❹构造函数证明 【答案】(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq \f(x＋12ax＋1,x). 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)>0； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)<0. 故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减． (2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处取得最大值，最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)， 所以f(x)≤－eq \f(3,4a)－2等价于lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)≤－eq \f(3,4a)－2， 即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1. 当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0. 从而当a<0时，lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0， 即f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. [子题1]　设函数f(x)＝ln x－x＋1.证明：当x∈(1，＋∞)时，1<eq \f(x－1,ln x)<x. 【答案】证明　f′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，x>0， 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)＝ln x－x＋1≤f(1)＝0，∴ln x≤x－1， ∴当x>1时，ln x<x－1，① 且ln eq \f(1,x)<eq \f(1,x)－1，② 由①得，1<eq \f(x－1,ln x)，由②得，－ln x<eq \f(1－x,x)， ∴ln x>eq \f(x－1,x)，∴x>eq \f(x－1,ln x)， 综上所述，当x>1时，1<eq \f(x－1,ln x)<x. [子题2]　已知函数f(x)＝ex－x2.求证：当x>0时，eq \f(ex＋2－ex－1,x)≥ln x＋1. 【答案】证明　设g(x)＝f(x)－(e－2)x－1＝ex－x2－(e－2)x－1(x>0)， 则g′(x)＝ex－2x－(e－2)， 设m(x)＝ex－2x－(e－2)(x>0)， 则m′(x)＝ex－2， 易得g′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 又g′(0)＝3－e>0，g′(1)＝0， 由0<ln 2<1，则g′(ln 2)<0， 所以存在x0∈(0，ln 2)，使得g′(x0)＝0， 所以当x∈(0，x0)∪(1，＋∞)时，g′(x)>0； 当x∈(x0，1)时，g′(x)<0. 故g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex－x2－(e－2)x－1≥0， 故当x>0时，eq \f