专题一 第4讲 导数的简单应用-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

专题一 第4讲　导数的简单应用 【考情分析】　 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【要点提炼】 考点一　导数的几何意义与计算 1．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 2．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 【典例】1　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　B 【解析】　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x， ∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－， 令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－， 解得f′(2)＝－. (2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 【答案】　(e,1) 【解析】　设A(x0，ln x0)，又y′＝， 则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为 y－ln x0＝(x－x0)， 将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)， 化简得ln x0＝，解得x0＝e， 则点A的坐标是(e,1)． 易错提醒　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 【拓展训练】1　(1)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于(　　) A．e B．2e C．1 D．2 【答案】　C 【解析】　设切点为(n，aen＋n)，因为y′＝aex＋1， 所以切线的斜率为aen＋1， 切线方程为y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)， 即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)， 依题意切线方程为y＝2x＋1， 故解得a＝1，n＝0. (2)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 【答案】　A 【解析】　对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1. 【要点提炼】 考点二　利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域． (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认． (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况． 【热点突破】 【典例】2　已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R.讨论f(x)的单调性． 【解析】　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝a－－＋＝. 若a≤0，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 若a>0，f′(x)＝. (1)当0<a<2时，>1， 当x∈(0,1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)当a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增． (3)当a>2时，0<<1， 当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0<a<2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 当a>2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 易错提醒　(1)在求单调区间时“定义域优先”． (2)弄清参数对f′(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏． 【拓展训练】2　(1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(