专题一 第3讲 不等式-2021年高考数学二轮专题突破（新高考）

专题一 第3讲　不等式 【要点提炼】 考点一　不等式的性质与解法 1．不等式的倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. 2．不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a，x∈I. (2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法． 【热点突破】 【典例】1　(1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是(　　) A.p>1 B.< C．m－p<n－p D．logmp>lognp 【答案】　D 【解析】　方法一　设m＝，n＝，p＝2，逐个代入可知D正确． 方法二　对于选项A，因为0<m<n<1，所以0<<1，又p>1，所以0<p<1，故A不正确；对于选项B，－＝＝>0，所以>，故B不正确；对于选项C，由于函数y＝x－p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m<n<1，所以m－p>n－p，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p>1,0<m<n<1时，logmp>lognp，故D正确． (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3) 【答案】　A 【解析】　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0， 则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化为x2＋x－6>0， 即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)． 易错提醒　求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a的符号． 【拓展训练】1　(1)已知函数f(x)＝则不等式x2f(x)＋x－2≤0的解集是________________． 【答案】　{x|－1≤x≤1} 【解析】　由x2f(x)＋x－2≤0，得 或 即或 ∴－1≤x<或≤x≤1， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}． (2)若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪{2} 【答案】　B 【解析】　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2， 当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有解得－2<a<. 综上，实数a的取值范围是. 【要点提炼】 考点二　基本不等式 基本不等式求最值的三种解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 【典例】2　(1)下列不等式的证明过程正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若a<0，则a＋≥－2＝－4 C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2 D．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2 【答案】　D 【解析】　由于，的符号不确定，故选项A错误；∵a<0，∴a＋＝－≤ －2 ＝－4(当且仅当a＝－2时，等号成立)，故B错误；由于lg a，lg b的符号不确定，故选项C错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a＋2－a≥2＝2(当且仅当a＝0时，等号成立)，故选项D正确． (2)(2019·天津)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 【答案】　4 【解析】　＝＝＝2＋ .由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4. 易错提醒　运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 【拓展训练】2　(1)(