练习20 三角恒等变换综合练习-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高一数学（苏教版）

练习20 三角恒等变换综合练习 一、单选题 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 化成标准的两角和的展开式，合并为一个角即可求得答案. 【详解】 解： . 故选：B. 【点睛】 应用三角公式化简求值的策略 （1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”. （2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. （3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 2．若 ， 是第三象限的角，则 （ ） A． B． C． D．-2 【答案】D 【分析】 根据 ， 是第三象限的角，先利用半角公式求得 ，然后代入 求解. 【详解】 因为 为第三象限角， 所以 可能为二､四象限角， 所以 ， 所以 . 故选：D. 3．已知 ，则 的值是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 已知条件平方后，利用 ，直接计算结果. 【详解】 ∵ ，平方得， ， ∴ ，∴ ，∴ . 故选:B 4．在 中，若 ，则 的形状不可能是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形 【答案】D 【分析】 由诱导公式化 ，由两角和与差的正弦公式和二倍角公式变形后可判断． 【详解】 由已知可得 ，∴ ， ∴ 或 ，∴ 或 ， ∴ 可能是等腰三角形､直角三角形或等腰直角三角形， 故选：D. 5．若 ，则 等于（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据 ，利用诱导公式得到 ，再由 ，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故选：A 6．已知 ，则下列说法错误的是（ ） A．若 在 内单调，则 B．若 在 内无零点，则 C．若 的最小正周期为 ，则 D．若 时，直线 是函数 图象的一条对称轴 【答案】C 【分析】 利用二倍角的余弦公式可得 ，根据正弦函数的单调区间可得 ，解不等式可判断A；在 内无零点，只需 ，解不等式即可判断B；利用 可判断C；令 ，解方程即可判断D. 【详解】 ， 对于A，若 在 内单调，则 ，解得 ，故 ，A正确； 对于B，由 ，得 ，若 在 内无零点， 则 ，解得 ，故 ，B正确； 对于C，若 的最小正周期为 ，则 的最小正周期为 ， 因此 ，所以 ，C错误； 对于D， ，令 ，则 ， 当 时，得 的图象的一条对称轴为直线 ，D正确； 故选：C 二、多选题 7．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内切圆半径为r.若 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 利用三角形內角和以及诱导公式可判断A正确；利用基本不等式判断B错误；利用和角正弦公式以及正弦定理可得C正确；利用基本不等式可得D正确． 【详解】 由题设 得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所以A正确； 所以 所以B错误； 由 得 ， 所以 所以 ，即 ，所以C正确； 如图，由 ，得 ， 所以 ( 取等号)，所以 ，所以D正确． 故选：ACD． 8．若 ，则 的一个可能值为（ ） A． B．220° C．40° D． 【答案】CD 【分析】 利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得 ，即可得出答案． 【详解】 解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 的一个可能值为 ， 又 ，故 也是一个可能值. 故选：CD． 【点睛】 关键点睛：本题解题的关键是利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，能得出 即可求解． 三、填空题 9．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 【答案】 【分析】 根据两角差的余弦公式进行化简、运算，即可求解 【详解】 由 . 故答案为： . 10．已知 ，则 __． 【答案】 【分析】 利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】 由 ，又由 . 故答案为： ． 四、解答题 11．设a＝sinxcosx，b＝sinx+cosx. （1）求a，b的关系式； （2）若x∈（0， ），求y＝sinxcosx+sinx+cosx的最大值. 【答案】（1）b2＝1+2a；（2） . 【分析】 （1）将b＝sinx+cosx两边平方可得结果； （2）转化为关于 的二次函数可求得结果. 【详解】 （1）∵b＝sinx+cosx， ∴b2＝（sinx+cosx）2＝1+2sinxcosx＝1+2