重难点01 数列-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

重难点 01 数列 【高考考试趋势】 新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。知识点考查比较简单，也是高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的。本重点专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手。 【高考常见题型分类总结】 通项公式的求法 1、累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 2、累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 3、由数列的前n项和与的关系求通项公式 若已知数列的前n项和，则不论数列是否为等差数列或等比数列，当时，都有，可利用公式求通项。 4、构造新数列 对于的形式，主要是利用的形式进行转化； 对于 ，主要采用的形式进行转化运算； 对于 一般采用转化成的形式进行转化运算。 对于求和问题 1、 裂项求和形如的形式一般采用裂项的形式，注意前面的此系数，是由。 2、错位相减求和问题，本专题题目中有出现。 3、分组求和问题，分为两种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题。 【限时检测】（建议用时：50分钟） 一、单选题 1．（2021·全国高三其他模拟（理））等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】 在等比数列中，设公比， 当时，有，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以，所以， ，当且仅当时取等号， 所以当或时，取得最小值1， 故选：D. 【点睛】 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和，则的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】 利用计算． 【详解】 由已知． 故选：C． 3．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ） A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n 【答案】D 【分析】 利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1， 所以由题设得， 两式相除得1+q3=9，解得q=2， 进而可得a1=1， 所以an=a1qn-1=2n-1， 所以nan=n×2n-1. 设数列{nan}的前n项和为Tn， 则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1， 2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n， 两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n， 故Tn=1+(n-1)×2n. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 4．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足，，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得. 【详解】 已知数列满足，， 在等式两边同时取倒数得，， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，， ， 因此，. 故选：B. 【点睛】 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 5．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】 转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解. 【详解】 因为，所以， 又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，所以， 令，解得， 所以，其余各项均大于0， 所以. 故选：A. 【点睛】 解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足的项，即可得解. 6．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（ ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 【答案】C 【分析】 由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出