沪教版（上海）数学高二下册-11.1 （１）直线方程 教案

11．1 （１）直线方程 【教学目标】 知识与技能：理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程； 过程与方法：加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养； 情感、态度、价值观：体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心. 【教学重点及难点】 直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导. 【教学过程设计】 一、解析几何发展史 解析几何的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算. 二、讲授新课 直线方程 定义：对于坐标平面内的一条直线 ，如果存在一个方程 ，满足（1）直线 上的点的坐标 都满足方程 ；（2）以方程 的解 为坐标的点都在直线 上.那么我们把方程 叫做直线 的方程. 从上述定义可见，满足（1）、（2），直线 上的点的集合与方程 的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系. 点方向式方程 1、概念引入 在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程. 2、概念形成 直线的点方向式方程的定义 在平面上过一已知点 ，且与某一方向平行的直线 是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程． 直线的点方向式方程的推导 建立平面直角坐标系，设 的坐标是 ，方向用非零向量 表示. 设直线 上任意一点 的坐标为 ，由直线平行于非零向量 ，故 .根据 的充要条件，得 ①；反之，若 为方程①的任意一解，即 ，记 为坐标的点为 ，可知 ，即 在直线 上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线 的方程. 当 时，方程①可化为 ②.值得注意的是：方程②不能表示过 且与坐标轴垂直的直线．事实上当 时 ，方程①可化为 ③，表示过 且与 轴垂直的直线；当 时 ，方程①可化为 ④，表示过 且与 轴垂直的直线. 我们把方程 叫做直线 的点方向式方程，非零向量 叫做直线 的方向向量. 3、概念深化 从上面的推导看，方向向量 是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量. 由点方向式易得，过不同的两点 的直线的方程是 . 4、例题解析 例1 观察下列直线方程