考点14 代数几何综合问题(二)(运动型探究问题)-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础

考点14 代数几何综合问题(二) (运动型探究问题) 1．（2015·上海中考真题）（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 已知：如图， 是半圆 的直径，弦 ，动点 、 分别在线段 、 上，且 ， 的延长线与射线 相交于点 、与弦 相交于点 （点 与点 、 不重合）， ， ．设 ， 的面积为 ． （1）求证： ； （2）求 关于 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当 是直角三角形时，求线段 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件， ，联结 后还有 ，再结合要证明的结论 ，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即 即可； （2）根据 ∽ ，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件 、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】 （1）联结 ，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ； （2）作 ，交 于 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ∽ ， ∴ ， ∴ ，当 与点 重合时， ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ； （3）①当 时， ， ∴ ； ②当 时， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ ， ∴ （舍去）； ③当 时，∵ ， ∴ ， ∵ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，此时弦 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段 的长为 ． 1.2021年上海市杨浦区中考一模第25题 如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为边AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为G，交射线AC于点F． （1）如果点D为BC的中点，求∠DAB的正切值； （2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长． 图1 备用图 满分解答 （1）如图2，作DM⊥AB于M． 在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，所以∠B＝45°，AB＝ ． 在Rt△MDB中，DB＝2，所以MD＝MB＝ ． 在Rt△ADM中，AM＝AB－MB＝ ，所以tan∠DAB＝ ＝ ＝ ． （2）如图3，过点A作CB的平行线交于DE的延长线于点H． 由AH//CB，得∠DAH＝∠ADC，∠H＝∠EDB． 已知∠ADC＝∠EDC，所以∠DAH＝∠H． 所以DA＝DH．所以AH＝2CD＝2x． 根据同角的余角相等，得∠AFE＝∠ADC．所以∠AFE＝∠H． 又因为∠FAE＝∠HAE＝45°，AE＝AE，所以△AFE≌△AHE． 所以AF＝AH．所以4－y＝2x．所以y＝4－2x．定义域是0＜x≤2． 图2 图3 （3）如图4，在Rt△MDB中，DB＝4－x，所以MD＝MB＝ ． 在Rt△ADM中，AM＝AB－MB＝ ＝ ． 所以tan∠DAB＝ ＝ ． 按照点F的位置，分两种情况讨论△CDF与△AGE相似： ①点F在线段AC上，此时y＝4－2x． 如果∠FDC＝∠DAB，由tan∠FDC＝tan∠DAB，得 ． 结合y＝4－2x，整理，得x2＋8x＋16＝0． 解得 （如图5所示），或 （舍去）． 如果∠CFD＝∠DAB，由tan∠CFD＝tan∠DAB，得 ． 结合y＝4－2x，整理，得x2－16x＋16＝0． 解得 （如图6所示），或 （舍去）． 图4 图5 ②点F在线段AC的延长线上，此时y＝2x－4． 如果∠FDC＝∠DAB，由 结合y＝2x－4，整理，得3x2－16＝0． 解得 （如图7所示），或 （舍去）． 如果∠CFD＝∠DAB，由 结合y＝2x－4，整理，得3x2－8x＋16＝0． 此方程无实数根． 2.2021年上海市普陀区中考一模第25题 如图1，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x． （1）求证： ； （2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切； （3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长． 图1 备用图 满分解答 （1）如图1，因为AF⊥AE，所以∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°． 根据同角的余角相