考点13 代数几何综合问题(一)(二次函数与其他知识综合)-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础

考点13 代数几何综合问题(一) (二次函数与其他知识综合) 1.(2020上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣ x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC= ，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【答案】（1）5 ；（2）y=﹣ x2+ x；（3）﹣ ＜a＜0． 【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，- m+5），则BC= |m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论． 【详解】（1）针对于直线y=﹣ x+5， 令x=0，y=5， ∴B(0，5)， 令y=0，则﹣ x+5=0， ∴x=10， ∴A(10，0)， ∴AB= =5 ； （2）设点C(m，﹣ m+5)． ∵B(0，5)， ∴BC= = |m|． ∵BC= ， ∴ |m|= ， ∴m=±2． ∵点C在线段AB上， ∴m=2， ∴C(2，4)， 将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得 ， ∴ ， ∴抛物线y=﹣ x2+ x； （3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0， ∴b=﹣10a， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)， 将x=5代入y=﹣ x+5中，得y=﹣ ×5+5= ， ∵顶点D位于△AOB内， ∴0＜﹣25a＜ ， ∴﹣ ＜a＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键． 1．（2020·上海市青浦区第一中学九年级期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与 轴分别交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点， ． （1）求 的值； （2）点 在抛物线的对称轴上，且 ，求点 的坐标； （3）将抛物线向下平移 个单位 ，平移后的图像与直线 分别交于点 、 两点（点 在点 的左侧），设平移后的顶点为 ，与 轴的交点为 ，问：是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2） ；(3)m=2 【分析】（1）求出D点坐标，代入抛物线解析式即可求出a的值； （2）首先求得 ，再分两种情况求出MN的值即可； （3）根据平移的性质可得四边形 为平行四边形，进一步证得 为等腰直角三角形， 是正方形，得到 ，代入新抛物线 即可求得结论． 【详解】 （1）∵ ， ， 即 ． (2)由 知其对称轴为x=-1， 如图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则 ； 由(1)的抛物线： ，得： 在 中， ． 若 ，则 ； 当M在x轴上方时， 在 中 ， ∴ ∴MN=6 ∴ ； 同理可得，当点M在x轴下方时可得，M ； 故 ． (3)存在 ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ， ， ， 即 为等腰直角三角形， 是正方形． 与 互相垂直平分，且 ， 由点F在新抛物线 上， 代入解得 或 (舍)， ∴当 时， ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．（2020·上海九年级专题练习）在直角坐标系中，把点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A′，经过点A、A′的抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为(1，m)，且m＜3，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】（1） ；（2）点B坐标为（1， ），（1，-5）或（1， ）． 【分析】（1）根据平移规律及抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2可得A′（3，a）、c=2，把A、A′代入y=ax2+bx+2可求出a、b的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式可得顶点P的坐标，利用两点间距离公式可得AP的长，分AP=PB、AP=AB、PB=AB三种情况，利用两点间的距离公式列方程求出m的值即可得答案． 【详解】（1）设抛物线的解析式为 ， ∵点A（－1，a）向右平移4个单位得到点 ， ∴A′（3，a）， ∵抛物线与 轴的交点的纵坐标为2， ∴ ， ∵图像经过点A（－1，a）、 （3，a） ∴ 解得： ， ∴ （2）∵ = ∴顶点P(1，3)， ∵A（-1，-1）， ∴ ， ①当AP=PB时，