考点12 几何综合问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础

考点12 几何综合问题 1.（2020上海中考真题）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设 = ， = ，那么向量 用向量 表示为____． 【答案】2 + ． 【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD， ∴ = = ， ∵ = + = + ， ∴ = = + ， ∵ = + ， ∴ = + + = + ． 故答案为： + ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2.（2020上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____． 【答案】 ． 【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H， ∵BC=7，CD=3， ∴BD=BC-CD=4， ∵AB=4=BD，∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°， ∴∠ADC=∠ADE=120°， ∴∠EDH=60°， ∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°． ∵DE=DC=3， ∴EH=DE×sin∠HDE=3× = ， ∴E到直线BD的距离为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等． 3.（2020上海中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____． 【答案】 ＜AO＜ ． 【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论． 【详解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10， 如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD，∴OE//CD， ∴△AOE∽△ACD， ∴ ， ∴ ， ∴AO= ； 如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC，∴OF//AB， ∴△COF∽△CAB， ∴ ， ∴ ， ∴OC= ， ∴AO= ， ∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ＜AO＜ ． 故答案为： ＜AO＜ ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 4.（2020上海中考真题）如图，在直角梯形ABCD中， ，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3 ． （1）求梯形ABCD的面积； （2）联结BD，求∠DBC的正切值． 【答案】（1）39；（2） ． 【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到 ，即可求出梯形的面积； (2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ， 即可求解． 【详解】解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示： ∵AB DC，∠DAB=90°，∴∠D=90°， ∴∠A=∠D=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AD=CE，AE=CD=5， ∴BE=AB﹣AE=3． ∵BC=3 ，∴CE= =6， ∴梯形ABCD的面积= ×(5+8)×6=39， 故答案为：39． (2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示： ∵CD AB，∴∠CDB=∠ABD． ∵∠CHD=∠A=90°， ∴△CDH∽△DBA，∴ ， ∵BD= = =10， ∴ ，∴CH=3， ∴BH= = =6， ∴∠DBC的正切值= = = ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5.（2020上海中考真题）.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF． 【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠