专题04 《数列》-期末挑重点之2020-2021学年上学期高二数学(苏教版)

专题04 数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作； 数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。 （2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 说明： ①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （5）数列{}的前项和与通项的关系： 二、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。 题型二、等差数列的通项公式：； 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。 题型三、等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，，成等差数列 即： （） 题型四、等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则； 题型五、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 ) 递推公式： 题型六.对于一个等差数列： （1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ； （2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。 题型七.对与一个等差数列，仍成等差数列。 题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： 是等差数列 ②中项法： 是等差数列 ③通项公式法： 是等差数列 ④前项和公式法： 是等差数列 题型九.数列最值 （1），时，有最大值；，时，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值； 可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即： 若已知，则最值时的值（）可如下确定或。 题型十.利用求通项． 等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：。 一、递推关系与通项公式 二、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件. 三、等比数列的基本性质， 1.（1） （2） （3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列. 2.前项和公式 3.若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列. 如下图所示： 4.等比数列的判定法 （1）定义法：为等比数列； （2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前项和法：为等比数列。 为等比数列。 5.利用求通项． 四、求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 （2）累加法 1、累加法 适用于： 若，则 两边分别相加得 （3）累乘法 适用于： 若，则 两边分别相乘得， （4） 待定系数法 适用于 解题基本步骤： 1、 确定 2、 设等比数列，公比为 3、 列出关系式 4、 比较系数求， 5、 解得数列的通项公式 五、数列求和 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论 (理)无穷递缩等比数列时， 2．错位相减法求和： 3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 数列是等差数列，数列的前项和 4．倒序相加法求和 考点一、数列的概念： 例1（2020广东高考）数列中，已