必修5 2.3.3 第1课时 等比数列的前n项和-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2．3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 学习目标：1.掌握等比数列前n项和公式；能用公式解决一些简单问题．(重点)2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(难点)3.不对q分析范围而错用求和公式．(易错点) 1．等比数列的前n项和公式 设数列{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，则其前n项和S n＝ 2．等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (2)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q.＝q；若项数为2n＋1，则 (3)设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． ①当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不是等比数列； ②当q≠－1或k为奇数时，数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)是等比数列． [基础自测] 1．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________. [解析]　∵q≠1， ∴S3＝＝26，＝ ∴q2＋q－12＝0， ∴q＝3或－4. [答案]　3或－4 2．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________． [解析]　∵a5＝a1q4， ∴q4＝24. ∵q>0，∴q＝2， ∴S7＝＝127. [答案]　127 3．在等比数列{an}中，若Sn是其前n项和，且S4＝3，S8＝9，则S12＝________. [解析]　∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，∴3,6，S12－9成等比数列， ∴3(S12－9)＝36， ∴S12＝21. [答案]　21 等比数列前n项和的基本运算 　在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； (3)若q＝2，S4＝1，求S8. [思路探究]　利用公式Sn＝求解．＝ [解]　(1)由公式Sn＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，及条件得189＝ 得96＝3·2n－1， 解得n＝6. (2)设公比为q，由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得， q3＝，∴a1＝8，，即q＝ ∴a4＝a1q3＝8×3＝1， S5＝.＝＝ (3)设首项为a1，∵q＝2，S4＝1， ∴＝1， 即a1＝， ∴S8＝＝17.＝ [规律方法]　 1．等比数列的前n项和公式和通项公式中共涉及a1，an，q，n，Sn五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”． 2．已知an时用Sn＝在将已知量表示为最基本元素a1和q的表达式中发挥着重要作用．较简便，而Sn＝ 提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧． [跟踪训练] 1．求下列等比数列前8项的和． (1)，…；，， (2)a1＝27，a9＝，q<0. [解]　(1)因为a1＝.＝，所以S8＝，q＝ (2)由a1＝27，a9＝＝27·q8.，可得 又由q<0，可得q＝－. 所以S8＝.＝ 等比数列前n项和的性质及应用 　在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30. [思路探究]　法一：由列方程组求得q值，整体代换求S30； 法二：利用前n项和的性质，连续10项之和成等比数列，求S30. [解]　法一：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则 两式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2. ∴S30＝(1＋q10＋q20)＝ ＝10×(1＋2＋4)＝70. 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列， 又∵S10＝10，S20＝30，∴S30－30＝，即S30＝70. [规律方法]　 要注意等比数列前n项和性质的使用条件，条件不具备时，性质不一定成立，如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…满足(S2m－Sm(2＝Sm·S3m－S2m(，但Sm，S2m－Sm，S3m－S2m不一定成等比数列，只有在一定的限制条件下才成等比数列. 提醒：易误认为Sn，S2n，S3n成等比数列. [跟踪训练] 2．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝________.＝3，则 (2)等比数列 {an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. [解析]　(1)设公比为q，则.＝＝＝＝1＋q3＝3，所以q3＝2，于是＝ (2)S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2. [答案]　(1)　(2)2 等比数列前n项和的实际应用 [探究问题] 1．银行储蓄中的按“复利”计算是什么意思？并举例说明． [提示]　所谓“复利”，即把上期的本利和作为下一期的本金．如