1.2 直角三角形-八年级下册初二数学【能力拓展练习】北师大版

能力拓展练习 综合测试卷 + 参考答案 1.2 直角三角形 典题精练 1. A 2. D 3. D 【解析】 当 a=0 ， b=-1 时， a 2 ＜b 2 ， 所以命题 “若 a＞ b ， 则 a 2 ＞b 2 ” 为假命题， 其逆命题为若 a 2 ＞b 2 ， 则 a＞b ， 此逆 命题也是假命题， 如 a=-2 ， b=-1. 故 ① 错误 . 若 a＞1 ， 则 （ a-1 ） 0 =1 ， 此命题为真命题， 它的逆命题为 若（ a-1 ） 0 =1 ， 则 a＞1 ， 此逆命题为假命题 . 因为（ a-1 ） 0 =1 ， 则 a≠1 ， 故 ② 错误； 两个全等的三角形的面积相等， 此命题为 真命题， 它的逆命题为面积相等的三角形全等， 此逆命题为 假命题， 故 ③ 错误； 等角对等边， 这个命题为真命题， 它的 逆命题为等边对等角， 此逆命题为真命题 . ④ 正确， 故选 D. 4. B 5. D 6. D 7. 3 姨 2 a 或 1 2 a 【解析】 显然三角形不可能为直角三角 形， 故分两种情况考虑： （ i ） 当 △ABC 是 锐 角 三 角 形 时 ， 高 与 另 一 腰 的 夹 角 为 30° ， 则其顶角是 60° ， 所以该等腰三角形是等边三角形， 腰 是 a ， 则底边上的高是 3 姨 2 a. （ ii ） 当 △ABC 是钝角时， 一腰上的高与另一腰的夹角为 30° ， 则等腰三角形的顶 角的外角 是 60° ， 因而 底角 是 30° ， 过顶角顶点作底边的垂线， 则底边上的高是 1 2 a. 所以底边上的高是 3 姨 2 a 或 1 2 a. 8. A 【 解 析 】 在 △ABC 中 ， AD ⊥BC ， CE ⊥AB ， ∴ ∠AEH = ∠ADB =90° ； ∵ ∠EAH + ∠AHE =90° ， ∠DHC + ∠DCH =90° ， ∵ ∠EHA = ∠DHC ， ∴ ∠EAH = ∠DCH. ∵ 在 △BCE 和 △HAE 中 ， ∠BEC=∠HEA ， ∠BCE=∠HAE ， BE=HE=3 3 ， ∴ △AEH ≌ △CEB （ AAS ）； ∴AE=CE. ∵EH=EB=3 ， AE=4 ， ∴CH=CE-EH=AE- EH=4-3=1. 故选 A. 9. D 【 解 析 】 根 据 题 意 ， ∠1=∠2=30° ， ∵∠ACD=60° ， ∴ ∠ACB=30°+60°=90° ， ∴∠CBA= 75°-30°=45° ， ∴△ABC 为等腰直 角 三 角 形 . ∵BC =50 ×0.5 =25 ， ∴AC=BC=25 （海里） . 故选 D. 10. 45° 或 135° 【 解 析 】 有 两 种 情 况 ， 如 图 1 ， 2 ， ∵ ∠BHD = ∠AHE ， 又 ∠AEH = ∠ADC=90° ， ∴∠DAC+∠C=90° ， ∠HAE+∠AHE=90° ， ∴ ∠AHE = ∠C ， ∴ ∠C = ∠BHD. ∵BH =AC ， ∠HBD = ∠DAC ， ∠C=∠BHD ， ∴△HBD≌△CAD （ AAS ）， ∴AD=BD. 如 图 1 时 ∠ABC=45° ， 如图 2 时 ∠ABC=135°. ∵AD=BD ， AD⊥BD ， ∴△ADB 是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45° ， ∴∠ABC=180°- 45°=135° ， 故答案为 45° 或 135°. 11. B 【 解 析 】 ① ∵BE ⊥AC ， AD ⊥BC ， ∴ ∠AEH = ∠ADB=90° . ∵ ∠HBD + ∠BHD =90° ， ∠EAH + ∠AHE =90° ， ∠BHD=∠AHE ， ∴ ∠HBD = ∠EAH. ∵DH =DC ， ∴ △BDH ≌ △ADC （ AAS ）， ∴BD=AD ， BH=AC ， 故 ①③ 正确； 假设 BC= AC 成立， ∴∠BAC=∠ABC. ∵ 由 ① 知， 在 Rt△ABD 中， BD= AD ， ∴∠ABC=45° ， ∴∠BAC=45° ， ∴∠ACB=90°. ∵∠ACB+ ∠DAC=90° ， ∠ACB＜90° ， ∴ 假 设 不 成 立 ， ② 为 错 误 结 论 . ∵BC=AC 不 成 立 ， ∴ 由 于 缺 乏 条 件 ， 无 法 证 得 △BEC ≌ △ADC ， ∴ 结论 ④ 为错误结论 . 综上所述， ①③ 为正确结论， ②④ 为错误结论， 根据题意选 B. 12. 证 明 ： ∵BE =CF ， ∴BE +EF =CF +EF ， 即 BF =CE. ∵∠A=∠D=90° ， ∴△ABF 与 △DCE 都 为 直 角 三 角 形 . 在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中， BF=C