专题09 分式方程（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

专题09 分式方程 【思维导图】 【知识要点】 知识点一：分式的基础 概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 与分式有关的条件： 要求 表示 分式有意义 分母≠0 分式无意义 分母=0 分式值为0 分子为0且分母不为0 分式值为正或大于0 分子分母同号 1 A>0,B>0 2 A<0,B<0 分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0 ②A<0,B>0 分式值为1 分子分母值相等 A=B 分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0 知识点二：分式的运算（重点） 基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，， 其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 · 分式的约分 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。 分式约分步骤： 1）提分子、分母公因式 2）约去公因式 3）观察结果，是否是最简分式或整式。 注意： 1.约分前后分式的值要相等. 2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. 3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 · 分式的通分 通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 分式通分的关键：确定最简公分母 确定分式的最简公分母的方法 1.因式分解 2.系数：各分式分母系数的最小公倍数； 3.字母：各分母的所有字母的最高次幂 4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 5.积 约分与通分的相同点： · 分式的四则运算与分式的乘方 1）分式的乘除法法则： 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 注意： 1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。 2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。 3）分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 4）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 5)分式混合运算的运算 运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算； 2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； 3.确定分式的符号，然后约分； 4.结果应是最简分式. · 整数指数幂 · · · · （） · · （） · （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m，n均为整数。 · 科学记数法 有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数) 注意： 1）1≤︱a︱＜10 2）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0） 知识点三 分式方程 解分式方程的基本 1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。 2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。 3）检验(把整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解 若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解 4）写出答案 增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。 分式方程解决实际问题的步骤： 1. 根据题意找等量关系 2. 设未知数 3. 列出方程 4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要） 5. 写答案 【考查题型】 考查题型一 分式有意义的条件 【解题思路】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 典例1．（2020·四川遂宁市·中考真题）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（　　） A