第1章三角形的证明 题型解读6 有关高线题型-北师大版八年级数学下册

《三角形的证明》题型解读6 有关高线题型 【知识梳理】 1.三角形三条高线会交于一点， 2.题目涉及“高线”（或“距离”），应联想到以下用途 ①联系面积问题 ②联想到可能会分类讨论--出现“界内高”或“界外高”情况 【典型例题】 例1.从边长为2的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为_______ 思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接AD、BD、CD，看似乎与直角三角形有点联系，但各个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于三个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即可得到所需的结论。 解题过程：连接AD、BD、CD，由图可得：=++，即边长×（边长×）÷2=AB×DE÷2+BC×DF÷2+AC×DG÷2，∴2×（2×）÷2=2×DE÷2+2×DF÷2+2×DG÷2，整理得：DE+DF+DG=，即三条垂线段长的和为. 例2.已知等边三角形ABC的边长为4，点D是BC的任意一点，则点D到AB、AC两边的距离之和是__________ 思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接AD，看似乎与直角三角形有点联系，但两个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于二个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即可得到所需的结论。 解题过程：连接AD，由图可得：=+，即边长×（边长×）÷2=AB×DE÷2+AC×DF÷2，∴4×（4×）÷2=4×DE÷2+4×DF÷2，整理得：DE+DF =4，即点D到AB、AC两边的距离之和是4. 例3.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____ 解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴=AB•BC=48， OA=OC，OB=OD，AC=BD=1