第1章三角形的证明 题型解读3 有关等边三角形题型-北师大版八年级数学下册

《三角形的证明》题型解读3 有关等边三角形题型 【知识梳理】 1.主要性质 （1）三边都相等，三角都等于60° （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 （3）“三线合一”性质 （4）“高=边长” 2.两个重点：①“三线合一”；②高与边的关系计算； 【典型例题】 例1.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 15°； 解析：由题可得：∠ACB=2∠GDC=4∠E=60°，∴∠E=15°； 例2.在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，且∠EBC=45°，则∠ACE=_____ 解析：由题可知AD是BC的垂直平分线，则BE=CE，所以∠BCE=∠EBC=45°，则∠ACE=15°， 例3. 边长为2的正三角形的面积是___________ 解析：考查等边三角形边与高的关系：高=边长，∴ 例4. 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点，再将△BEF折叠，使点B于点重合，折痕GH交B于点，依次折叠，则=______ 解析：依等边三角形边与高的关系求出BD、B、B、B……，再依规律即可求解。 由题可知，图中的每个正三角形的边长都是前一个正三角形边长的，依公式“高=边长” 可分别计算出：BD=，B=，B=，B=…，由规律可得：B= 点评：此题运用的就是等边三角形边与高的关系解题，再利用规律探究题型寻找规律的方法与技巧求解。 例5.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高为边作正，△ABC与公共部分的面积记为；再以正边上的高为边作正，与公共部分的面积记为，以此类推，则(用含n的式子表示) 解析：由题可知，每个等边三角形的高，即是下一个等边三角形的边长， 这样依等边三角形边与高的关系可以求出每个三角形的边长及它的高，再计算出各个面积， 再依规律即可求解。 由题可知：，∴ ，∴; ∴ 例6.如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG， 则DG的长为　　． 【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG 以及DG的长． 解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，