第1章三角形的证明 题型解读1 有关等腰三角形题型-北师大版八年级数学下册

《三角形的证明》题型全解读 一、知识结构图 《三角形的证明》题型解读1 有关等腰三角形题型 【知识梳理】 1.主要性质 2.两个重点：①“三线合一”；②分类讨论； 【典型例题】 例1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB。图中的等腰三角形共有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析：△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC是等腰三角形； 例2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数是________ 解析：由等腰三角形性质及三角形内角和公式及外角定理解答，可得∠C的度数是35° 例3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，BF//AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF， 其中正确的结论共有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析：由“角平分线+平行线=等腰△”即BC恰好平分∠ABF，BF//AC可得△ABC是等腰三角形，AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，由等腰三角形性质“三线合一”可得AD⊥BC，BD=CD，②③正确；则由ASA易证△BDF≌△CDE，可得BF=CE，DE=DF，①正确；由AE=2BF,CE=BF可得AC=3BF，④正确；故选A 例4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E． 若∠E=35°，则∠BAC的度数为______40° 解析：由AE//BD可得∠E=∠DBC=35°，由BD是角平分线可得∠ABC=70°=∠C，由三角形内角和公式可得∠BAC=40°. 例5.一个等腰三角形的一个角为50º，则它的顶角的度数是_______ 解析：考查等腰三角形的分类讨论。 ①当顶角为50º时，它的顶角的度数是50º； ②当底角为50º时，它的顶角的度数是80º；∴它的顶角的度数是50º或80º. 例6. 等腰三角形的一个外角是60°，则它顶角的度数是_________120° ①当60º是顶角的外角时，它的顶角的度数是120º； ②当50º是底角的外角时，它的一个底角的度数是120º，不符合三角形内角和公式，舍去； ∴它的顶角的度数是120º. 例7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数是20°，则顶角的度数是____110°或70°_____ 解析：①当等腰三角形是锐角三角形，高为界内高时，顶角的度数是90°-20°=70°； ②当等腰三角形是钝角三角形，高为界外高时，顶角的度数是90°+20°=110°； 例8.等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长________ 解析：如图分类讨论分别计算，可得底边长为8、10或310 例9.某等腰三角形两条边长分别是4和6,则它的周长是__________14、16 解析：①当底是4腰是6时，周长为16；②当底是6腰是4时，周长为14； ∴它的周长是14或16 例10.若实数m、n满足等式|m﹣2|+n-4=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边边长，则△ABC的周长是___ 解析：由题可得m=2,n=4，由三角形三边关系可知4为腰2为底，故周长是10. 例11如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。 （1）求证：AE=AE； （2）求证：△BFC是等腰三角形。 解析：（1）利用“∠A=∠A,∠AEC=∠ADB=90°,AB=AC”证△ABD≌△ACE可得AE=AD； (2)由△ABD≌△ACE可得∠ABD=∠ACE,由∠ABC=∠ACB可得∠FBC=∠FCB,∴BF=CF,∴△FBC是等腰三角形 例12.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B`的位置，AB`与CD交于点E，已知AB=8， AD=4，请完成下列问题： （1）求证：△ACE是等腰三角形； （2）求重叠部分（△ACE）的面积； （3）P为线段AC上的任意一点，试求PE+PC的最小值； 解析： （1）数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰三角形”。由折叠可得∠EAC=∠BAC，由矩形可得DC//AB，∴∠EAC=∠BAC=∠ECA,∴△ACE是等腰三角形； （2）勾股定理的典型解题思路：“折叠性质+方程思想+勾股定理”，设EC=x，则AE=x，DE=8-x,在Rt△ADE中，由勾股定理可得：42+(8-x)2=x2，解得x=5,∴S∆AEC=12