热点12 计数原理-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点12 计数原理 【命题趋势】 计数原理包含排列组合与二项式定理，在新高考数学中考查与以往考查题型、难度没有什么变化，通常是以选择题的形式呈现。另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍。高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合。二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开。本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解。 【满分技巧】 捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。 对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。 【考查题型】选择题、填空 【常考知识】计数原理、排列组合、二项式定理 【限时检测】（建议用时：50分钟） 一、单选题 1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】 求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解. 【详解】 展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【点睛】 本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】 首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题文档版（海南卷））要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 【答案】C 【分析】 首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】 第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 【点睛】 解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 4．（2021·福建高三其他模拟）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（ ） A．21种 B．22种 C．25种 D．27种 【答案】D 【分析】 正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，分别求出两种情况下三次骰子的点数情况，进而求出对应的排列方法即可. 【详解】 由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16， ①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有种； ②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种. 所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种. 故选：D. 【点睛】 本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 5．（2020·上海高三专题练习）设是平面直角坐标系上以、、为顶点的正三角形．考虑以下五种平面上的变换：①绕原点作的逆时针旋转；②绕原点作的逆时针旋转；③关于直线的对称；④关于直线的对称；⑤关于直线的对称．任选三种变换(可以相同)共有125种变换方式，若要使得变回起始位置(即点、、分别都在原有位置)，共有（ ）种变换方式？ A．12 B．16 C．20