辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期末考试数学试题（PDF版）

2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案 数 学 一、选择题： AABD CDCC 二、多选题： ABD CD BC AC 二、填空题： 13. 3 14. 16 15. 16. ①②③ 三、解答题： 17．（本小题满分10分） 【解析】 （Ⅰ）∵向量，， 由此可得函数，…………………………3分 又∵，得 ，即的取值范围是； …………………………5分 （Ⅱ）∵函数，（B）， 又∵，，可得． …………………………6分 ∵， 根据正弦定理，可得， 由得，所以， …………………………8分 因此， 可得是以为直角顶点的直角三角形， 的面积． …………………………10分 18．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）当时，，解得． …………………………2分 因为，① 所以当时，，② ①-②得，，所以． …………………………4分 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， 其通项公式为 …………………………6分 （Ⅱ）由题知，， …………………………7分 所以，③ ，④ ③-④得， ． …………………………10分 所以． …………………………12分 19．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）在图①中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 在图②中，，所以，即. …………………………3分 因为，所以，. 又，，平面.所以平面. …………………………5分 又平面，所以平面平面. …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，. 因为，，平面. 所以平面. 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，. 因为为的中点，所以. 所以，. 设平面的一个法向量为， 由得. 令，得，，所以. …………………………8分 设平面的一个法向量为. 因为， 由得 令，得 …………………………10分 则， …………………………11分 又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ……………………12分 20．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）由题意知，解得，……2分 样本平均数为元. ……………………………4分 （Ⅱ）由题意，从，中抽取7人，从，中抽取3人， 随机变量的所有可能取值有0，1，2，3. ，1，2，3） ……………………………6分 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望 ……………………8分 （Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下列联表： 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 ……………………………10分 ， 所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关. ……………………………12分 21．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）由题意可知，，∴， 又，，∴，∴椭圆的方程为. ……………………4分 （Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形， 假设存在使得，则四边形为矩形， ∴， ………………………………………6分 若的斜率不存在，直线的方程为，由得，， ∴，不合题意，故的斜率存在. 设的方程是，，， 由得. ∴，，① ………………………………………8分 ∴.② 由，得， 把①，②代入得. ………………………………………10分 ∴存在直线或使得.……………………………………12分 22．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）由，得，∴. 由已知可得：，即，∴，. …………………2分 （Ⅱ）， ∴.