专题20 离散型随机变量的期望-2021年新高考数学重难点专题培优

培优20 离散型随机变量的期望 根据二项分布求概率 例1：设随机变量 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为随机变量 ， ， 所以 ，则 ， 因为 ，即 ，解得 ， 随机变量 中， ， 故选A． 二、由随机变量X的分布列求概率 例2：若随机变量 的分布列为 ，则 ________． 【答案】 【解析】由题可知 ， 故答案为 ． 三、离散型随机变量及其分布列的综合 例3：已知 件次品和 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 件次品或者检测出 件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用 元，设 表示直到检测出 件次品或者检测出 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 的分布列和均值（数学期望）． 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ． 【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 ， 则 ． （2） 的可能取值为 ， ， ， ． 故 的分布列为 X P ． 增分训练 一、选择题 1．已知 件产品中有 件次品，从中任取 件，取到次品的件数为随机变量，用 表示，那么 的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 件产品中有 件次品，从中任取 件，取到次品的件数为随机变量， 可得随机变量 ， 的取值可以是 ， 故选C． 2．已知下列随机变量： ① 件产品中有 件次品，从中任选 件，取到次品的件数 ； ②一位射击手对目标进行射击，击中目标得 分，未击中目标得 分，用 表示该射击手在一次射击中的得分； ③刘翔在一次 米跨栏比赛中的成绩 ； ④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数 ． 其中 是离散型随机变量的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④ 【答案】C 【解析】③中 的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量． 3．已知参加 年某省夏季高考的 万名考生的成绩 近似地服从正态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ） (附： ，则 ， ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 这些考生成绩落在 的人数约为 ，故选B． 4．若随机变量 的分布列如下表： 0 1 2 3 0．1 0．2 0．2 0．3 0．1 0．1 则当 时，实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以实数 的取值范围为 ， 故选C． 5．从标 的 支竹签中任取 支，设所得 支竹签上的数字之和为 ，那么随机变量 可能取的值有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【解析】 支竹签上的数字是 中的两个，若其中一个为 ，另一个可取 ，相应 可取得 ， 同理一个为 ，另一个可取 ，相应 可取得 ， 以此类推，可看到 可取得 间的所有整数，共 个． 6．从装有除颜色外没有区别的 个黄球、 个红球、 个蓝球的袋中摸 个球，设摸出的 个球的颜色种数为随机变量 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，即摸出的 个球有 种颜色，其中一种颜色的球有 个，另一种颜色的球有 个， 故 ，故选D． 7．有 本不同的书，其中语文书 本，英语书 本，数学书 本．现从中随机拿出 本，记拿出数学书的本数为 ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】由题意知：拿出数学书的本数 的取值有 ， ∴ ， ， ， 即 ，故选C． 8．设 ，则随机变量 的分布列为： 0 1 2 设 ，则当 内增大时：（ ） A． 递减， 递增 B． 递减， 递减 C． 递增， 先递减再递增 D． 递减， 先递增再递减 【答案】B 【解析】根据题意可得 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 则当 内增大时， 单调递减； 又 ，故 的分布列如下所示： 0 1 2 故 ， 令 ， 故当 时， 单调递减，即 单调递减，故选B． 9．某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设没有发芽的种子数为 ，则 ， ， 所以 ． 10．已知随机变量 ，若 ，则 ， 分别为（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【解析】 ， ， ． ， ， 由期望和方差的性质可得 ，