专题18 圆锥曲线综合-2021年新高考数学重难点专题培优

培优18 圆锥曲线综合 一、圆锥曲线的定点定值问题 例1：椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的离心率是 ，过焦点且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得直线 变化时，总有 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 二、圆锥曲线的最值和范围问题 例2：已知圆 与定点 ，动圆 过 点且与圆 相切． （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）若过定点 的直线 交轨迹 于不同的两点 ， ，求弦长 的最大值． 增分训练 一、选择题 1．（多选题）已知 是椭圆 上的动点， 是圆 上的动点，则（ ） A． 的焦距为 B． 的离心率为 C．圆 在 的内部 D． 的最小值为 二、填空题 2．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 两点，直线 与抛物线相切且 ，则直线 的方程为 ； 为 上的动点，则 的最小值是 ． 三、简答题 3．已知抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的焦点为 ，直线 与 相切于点 ， ． （1）求抛物线 的方程； （2）设直线 交 于 ， 两点， 是 的中点，若 ，求点 到 轴距离的最小值及此时直线 的方程． 4．在直角坐标平面中，已知 的顶点 ， ， 为平面内的动点，且 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设过点 且不垂直于 轴的直线 与 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过 轴上的定点． 5．已知椭圆 的左、右两个焦点 ， ，离心率 ，短轴长为 ． （1）求椭圆的方程； （2）如图，点 为椭圆上一动点非长轴端点（非长轴端点）， 的延长线与椭圆交于 点， 的延长线与椭圆交于 点，求 面积的最大值． 6．已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，过左焦点 且垂直于 轴的直线交椭圆 于 ， 两点，且 ． （1）求 的方程； （2）若直线 是圆 上的点 处的切线，点 是直线 上任一点，过点 作椭圆 的切线 ， ，切点分别为 ， ，设切线的斜率都存在．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优18 圆锥曲线综合 一、圆锥曲线的定点定值问题 例1：椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的离心率是 ，过焦点且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得直线 变化时，总有 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ；（2）存在，定点为 ． 【解析】（1）∵ ， ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）当直线 斜率存在时，设直线 方程 ， 由 ，得 ， ， 设 ， ， ， 假设存在定点 符合题意， ∵ ，∴ ， ∴ ． ∵上式对任意实数 恒等于零，∴ ，即 ，∴ ； 当直线 斜率不存在时， ， 两点分别为椭圆的上下顶点 ， ， 显然此时 ， 综上，存在定点 满足题意． 二、圆锥曲线的最值和范围问题 例2：已知圆 与定点 ，动圆 过 点且与圆 相切． （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）若过定点 的直线 交轨迹 于不同的两点 ， ，求弦长 的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设圆 的半径为 ， 由题意可知，点 满足 ， ，∴ ． 由椭圆定义知点 的轨迹为以 ， 为焦点的椭圆， 且 ， ，进而 ， 故轨迹 的方程为 ． （2）当直线 的斜率不存在时， ， 或 ， ， 此时弦长 ； 当直线斜率存在时，设 的方程为 ， 由 ，消去 ，得 ， 由 恒成立， 设 ， ，∴ ， ， ． 令 ，则 ， ， ． 当 时，此时 ， ， 综上，弦长 的最大值为 ． 增分训练 一、选择题 1．（多选题）已知 是椭圆 上的动点， 是圆 上的动点，则（ ） A． 的焦距为 B． 的离心率为 C．圆 在 的内部 D． 的最小值为 【答案】BC 【解析】∵ ，∴ ， ，∴ ， 则 的焦距为 ， ， 设 ， 则 ， 所以圆 在 的内部，且 的最小值为 ， 故选BC． 二、填空题 2．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 两点，直线 与抛物线相切且 ，则直线 的方程为 ； 为 上的动点，则 的最小值是 ． 【答案】 ， 【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为 ， 由于直线的斜率为 ，故直线方程为 ，即 ， 由 ，解得 ， ， 设直线 的方程为 ， 由 ，化简得 ， 由于直线 与抛物线相切，判别式 ，解得 ， 故直线 的方程为 ． 设直线 上任意一点的坐标 ，