专题16 利用空间向量求角-2021年新高考数学重难点专题培优

培优16 利用空间向量求角 一、求直线与直线的夹角 例1：在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ，点 、 分别是 、 的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、求直线与平面的夹角 例2：在正方体 中，则直线 和平面 所成的角为_________． 三、求平面与平面的夹角 例3：正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ， ， 分别为棱 ， 的中点，则二面角 的余弦值是（ ） A． B． C． D． 增分训练 一、选择题 1．如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．正方体 的棱上（除去棱 ）到直线 与 的距离相等的点有 个，记这 个点分别为 ， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3．已知长方体 中， ， ， 为侧棱 的一点，且 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在三棱锥 ， 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，平面 平面 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为__________． 6．如图，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则平面 和平面 所成二面角的正弦值为 ． 三、解答题 7．如图，三棱柱 ，侧棱与底面垂直， 分别是棱 上的点， ， ， ， ． （1）求证： ； （2）若 是 的重心， 面 ，求平面 与面 所成角（锐角）的余弦值． 8．如图，直三棱柱 中， ， ． 分别为棱 的中点． （1）求点 到平面 的距离； （2）求二面角 的平面角的余弦值； （3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优16 利用空间向量求角 一、求直线与直线的夹角 例1：在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ，点 、 分别是 、 的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设 ， 则 ， ， ， ， ， ， 所以 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选A． 二、求直线与平面的夹角 例2：在正方体 中，则直线 和平面 所成的角为_________． 【答案】 【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 的棱长为 ， 则 ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 取 ，则 ， 设直线 和平面 所成的角为 ，则 ， ∴ ，∴直线 和平面 所成的角为 ． 三、求平面与平面的夹角 例3：正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ， ， 分别为棱 ， 的中点，则二面角 的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ． 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 即 ，解得 ， ， 所以 ； 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 即 ，解得 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以二面角 的余弦值是 ． 增分训练 一、选择题 1．如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以 ， ， 为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ∴ ， ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 2．正方体 的棱上（除去棱 ）到直线 与 的距离相等的点有 个，记这 个点分别为 ， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正方体 的棱上到直线 与 的距离相等的点分别为 ， 的中点， 的四等分点（靠近 ）， 假设 与 重合， 的中点为 ， 的四等分点（靠近 ）为 ， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ，得 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 3．已知长方体 中， ， ， 为侧棱 的一点，且 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以 为原点，射线 ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，如图， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 设平面 的一个法向量为 ，则