专题15 平行垂直关系的证明-2021年新高考数学重难点专题培优

培优15 平行垂直关系的证明 一、平行关系的判断与证明 例1：如图，异面直线 、 ， ， ， 为 中点， ， ， ， ， ， ，求证： 为 中点． 二、垂直关系的判断与证明 例2：如图， 所在的平面， 是 的直径， 是 上的一点， 分别是点 在 上的射影，给出下列结论： ① ；② ；③ ；④ 面 ． 其中正确命题的序号是 ． 三、平行垂直关系的判断与证明 例3：如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上，且 ，矩形 所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且 ， ． （1）求四棱锥 的体积 ； （2）求证：平面 平面 ； （3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由． 增分训练 一、选择题 1．如图，在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 2．已知 是两条异面直线，点 是直线 外的任一点，有下面四个结论： ①过点 一定存在一个与直线 都平行的平面； ②过点 一定存在一条与直线 都相交的直线； ③过点 一定存在一条与直线 都垂直的直线； ④过点 一定存在一个与直线 都垂直的平面． 则四个结论中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选题） ， 表示直线， 表示平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 4．（多选题）已知平面 平面 ， 是 、 外一点，过 点的两条直线 、 分别交 于 、 ，交 于 、 ，且 ， ， ，则 的长为（ ） A．20 B．16 C．12 D．4． 二、填空题 5． 是 所在平面外一点， 是 点在平面 上的射影，且 在 的内部．若 到 三个顶点的距离相等，则 是 的 心；若 、 、 两两互相垂直，则 是 的 心． 6．设有下列四个命题： 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 若直线 平面 ，直线 平面 ，则 ． 则下列命题中所有真命题的序号是 ． ① ② ③ ④ 三、解答题 7．如图，已知 是矩形， ⊥平面 ， 是 上一点．求证： 不可能垂直于平面 ． 8．如图， 、 是以 为直径的圆上两点， ， ， 是 上一点，且 ，将圆沿直径 折起，使点 在平面 的射影 在 上． （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）求三棱锥 的体积． 9．在斜三棱柱 中，底面是等腰三角形， ，侧面 底面 ． （1）若 是 的中点，求证： ； （2）过侧面 的对角线 的平面交侧棱 于 ，若 ，求证：截面 侧面 ； （3）过侧面 的对角线 的平面交侧棱 于 ， 是截面 侧面 的充要条件吗？请你叙述判断理由． 10．如图，一棱长为2的正四面体 的顶点 在平面 内，底面 平行于平面 ，平面 与平面 的交线为 ． （1）当平面 绕 顺时针旋转与平面 第一次重合时，求平面 转过角的正弦值； （2）在上述旋转过程中， 在平面 上的投影为等腰 ， 的中点为 ．当 平面 时，问在线段 上是否存在一点 ，使 ？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优15 平行垂直关系的证明 一、平行关系的判断与证明 例1：如图，异面直线 、 ， ， ， 为 中点， ， ， ， ， ， ，求证： 为 中点． 【答案】证明见解析． 【解析】连 交 于 ，连 、 ， ， ． 二、垂直关系的判断与证明 例2：如图， 所在的平面， 是 的直径， 是 上的一点， 分别是点 在 上的射影，给出下列结论： ① ；② ；③ ；④ 面 ． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】 ， ，那么 平面 ， 则 ， 又 ，则 平面 ，可得 ，那么①③正确；同理②也正确， 易知④错误． 三、平行垂直关系的判断与证明 例3：如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上，且 ，矩形 所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且 ， ． （1）求四棱锥 的体积 ； （2）求证：平面 平面 ； （3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）存在，详见解析． 【解析】（1）∵ ，∴ ， 作 交 于点 ，则 ， ∵平面 平面 ，∴ 面 ， 则． （2）∵平面 平面 ， ， 平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， 又∵ 为圆 的直径，∴ ，∴ 平面 ， ∵ 面，∴平面 平面 ． （3）取中点记作，设 的中点为 ，连接，， 则 ∥ ， 又 ∥ ，则 ∥ ，所以 为平行四边形，∴ ， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． 增分训练 一、选择题 1．如图，在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角为（ ） A