专题14 与球有关的组合体-2021年新高考数学重难点专题培优

培优14 与球有关的组合体 一、侧面与地面垂直的几何体的外接球问题 例1：已知在三棱锥 中， 是等边三角形， ，平面 平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、通过投影找外接球球心 例2：已知球 内接正四面体 ， 为棱 的中点， 是棱 上的一点， 且 ，则球 与四面体 的体积比为（ ） A． B． C． D． 三、内切球相关问题 例3：阿基米德（公元前 年—公元前 年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为 的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 增分训练 一、选择题 1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为 )，地球上一点 的纬度是指 与地球赤道所在平面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面．在点 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角为（ ） A． B． C． D． 2．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为 的大球放置在底面半径和高均为 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球． A． B． C． D． 3．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（ ） A． B． C． D． 4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为 ，则该球的半径是（ ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知 ， ， 三点均在球 的表面上， ，且球心 到平面 的距离等于球半径的 ，则下列结论正确的是（ ） A．球 的半径为 B．球 的表面积为 C．球 的内接正方体的棱长为 D．球 的外切正方体的棱长为 6．（多选题）已知 的三边长分别是 ， ， ．则下列说法正确的是（ ） A．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 7．（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 8．（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ） A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 D．该沙漏的一个沙时大约是 秒（ ） 二、填空题 9．已知等边三角形 的边长为 ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起得到四棱锥 ．点 为四棱锥 的外接球球面上任意一点，当四棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球的半径为______，点 到平面 距离的最大值为______． 10．三棱锥 的顶点都在同一个球面上，满足 过球心 ，且 ，则三棱锥 体积的最大值为________；三棱锥 体积最大时，平面 截球所得的截面圆的面积为________． 11．已知正三棱锥 ， 为 中点， ， ，则正三棱锥 的外接球的半径为________；过 的平面截三棱锥 的外接球所得截面的面积范围为________． 12．某地球仪上北纬 纬线的长度为 ，该地球仪的半径是________ ，表面积是________ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优14 与球有关的组合体 一、侧面与地面垂直的几何体的外