专题13 数列求和的方法-2021年新高考数学重难点专题培优

培优13 数列求和的方法 一、错位相减法 例1：已知等比数列 是递增数列，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 二、裂项想消法 例2：在等差数列 中， ，公差 ，记数列 的前 项和为 ． （1）求 ； （2）设数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，求 ． 增分训练 一、选择题 1．在进行 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．在数列 中，若 ，且对任意的 有 ，则数列 前 项的和为（ ） A． B． C． D． 3．已知数列 满足： ，则 的前 项的和为（ ） A． B． C． D． 4．已知数列 与 前 项和分别为 ， ，且 ， ， ， ，对任意的 ， 恒成立，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知正数数列 是公比不等于 的等比数列，且 ， 若 ，则关于 的结果错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的有（ ） A． 为等比数列 B． 的通项公式为 C． 为递减数列 D． 的前 项和 二、填空题 7．在数列 中， ， ， ，则 的值为______，数列 的前 项和为______． 8．已知数列 满足 ，且 ，则 ，数列 满足 ，则数列 的前 项和 ． 三、解答题 9．已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 满足关系式 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，求证：对于任意的正数 ，总有 ． 10．设 为等差数列 的前 项和，其中 ，且 ． （1）求常数 的值，并写出 的通项公式； （2）记 ，数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，都有 ，求常数 的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优13 数列求和的方法 一、错位相减法 例1：已知等比数列 是递增数列，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设 的公比为 ， ， ，得 ， ， ∴数列 的通项公式为 ． （2）由 ， ，得 ， ∴ ，① 则 ，② ②-①，得 ， 即 ． 二、裂项想消法 例2：在等差数列 中， ，公差 ，记数列 的前 项和为 ． （1）求 ； （2）设数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，求 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ． （2）若 ， ， 成等比数列，则 ，即 ，∴ ， ∵ ， ∴ ． 增分训练 一、选择题 1．在进行 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，记 ， 则 ， 又 ， 两式相加可得 ， 则 ． 2．在数列 中，若 ，且对任意的 有 ，则数列 前 项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，则 ． ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ，则 ． 3．已知数列 满足： ，则 的前 项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ， ； ， ； ， ． 第一个式子和第二个式子相减，得到 ； 第二个式子和第三个式子左右两边相加得到 ， 故 ． 4．已知数列 与 前 项和分别为 ， ，且 ， ， ， ，对任意的 ， 恒成立，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ， ， 所以当 时， ，解得 ， 当 时， ， 所以 ， 于是 ， 由 ，可得 ， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，即 ， 所以 ， 所以 ， 因为对任意的 ， 恒成立， 所以 ，即 的最小值是 ． 5．（多选题）已知正数数列 是公比不等于 的等比数列，且 ， 若 ，则关于 的结果错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】∵正数数列 是公比不等于 的等比数列，且 ， ∴ ， ， ∵函数 ，∴ ， ， 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 故选ABD． 6．（多选题）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的有（ ） A． 为等比数列 B． 的通项公式为 C． 为递减数列 D． 的前 项和 【答案】ABC 【解析】因为 ，所以 ， 又 ， 所以 是以 为首项， 位公比的等比数列， ，即 ， 为递减数列， 的前 项和 ， 故选ABC． 二、填空题 7．