专题11 等差数列与等比数列-2021年新高考数学重难点专题培优

培优11 等差数列与等比数列 一、等差、等比数列的基本运算 例1：我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 就是二阶等差数列，数列 的前 项和是 ． 例2：将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和为 ． 二、等差、等比数列的性质及应用 例3：已知公比大于1的等比数列 满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ． 例4：设 是公比不为 的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 三、等差、等比数列的综合应用 例5：已知 是无穷数列，给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使得 ． ②对于 中任意一项 ，在 都存在两项 ，使得 ． （1）若 ，判断 是否满足性质①，说明理由： （2）若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列． 四、数列与其他知识的交汇 例6： 周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列 满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为 周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期，对于周期为 的 序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的 序列中，满足 的序列是（ ） A． B． C． D． 增分训练 一、选择题 1．在等差数列 中， ， ，记 ，则数列 （ ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 2．（多选题）等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，当首项 和 变化时， 是一个定值，则下列各数也为定值的有（ ） A． B． C． D． 3．数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 块，向外每环依次也增加 块，己知每层环数相同，且下层比中层多 块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A． 块 B． 块 C． 块 D． 块 5．（多选题）数列 的前 项和为 ，若数列 的各项按如下规律排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，以下运算和结论正确的是（ ） A． B．数列 ， ， ， ， 是等比数列 C．数列 ， ， ， ， 的前 项和为 D．若存在正整数 ，使 ， ，则 6．（多选题）在数列 中，若 ，（ ， ， 为常数），则称 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A．若 是等差数列，则 是等方差数列 B． 是等方差数列 C．若 是等方差数列，则 （ ， 为常数）也是等方差数列 D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 7．记 为正项等比数列 的前 项和，若 ，且正整数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，已知 的前 项和 ，则 的值是________． 9．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿_______斗栗，羊的主人应赔偿_______斗栗． 10．数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 ________． 11．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第 行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______． 12．艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 的零点时给出一个数列 满足 ，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数 有两个零点 ， ，数列 为牛顿数列，设 ，已知 ， ，则 的通项公式 ________． 三、解答题 13．（新高考题型）在① ， ；② ；③ ， 是 与 的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知 为等差数列 的前 项和，若________． （